Ensemble

En théorie des ensembles, un ensemble sert à désigner intuitivement une collection d'objets, «une grande variété qui peut être comprise comme un tout», comme l'énonçait son principal initiateur, le mathématicien Georg Cantor : «Unter einer'Menge'verstehen...



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Théorie des ensembles

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Définitions :

  • n. m :. || MATH Collection d'objets ou d'identités (les éléments) désignés par le même mot ou la même expression.... (source : collabopm)

En théorie des ensembles, un ensemble sert à désigner intuitivement une collection d'objets (les éléments de la totalité), «une grande variété qui peut être comprise comme un tout», comme l'énonçait son principal initiateur, le mathématicien Georg Cantor : (de) «Unter einer'Menge'verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten M unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die'Elemente'von M genannt werden) zu einem Ganzen». Ceci était spécifiquement novateur, s'agissant d'ensembles peut-être illimités (ce sont ces derniers qui intéressaient Cantor).

Ce qui est en jeu au premier chef dans la notion d'ensemble, c'est la relation d'appartenance : un élément appartient à un ensemble. Ce sont les propriétés de cette relation que Zermelo, puis d'autres, ont axiomatisé en théorie des ensembles. Il est assez remarquable qu'on puisse s'en contenter pour une théorie qui peut potentiellement formaliser les mathématiques. Mais ce n'était pas l'intention de Cantor, et il n'avait pas non plus axiomatisé sa théorie.

L'objet de cet article est de donner une approche intuitive de la notion d'ensemble, telle qu'elle est indiquée dans l'article théorie naïve des ensembles.

Ensembles, éléments et appartenance

Un ensemble peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn. Fréquemment (ce n'est pas forcément envisageable), on essaye de le distinguer typographiquement de ses éléments, par exemple en utilisant une lettre latine majuscule, par exemple «E» ou «A», pour représenter la totalité, et des minuscules, telles que «x» ou «n», pour ses éléments.

Les éléments peuvent être de n'importe quelle nature : nombres, points géométriques, droites, fonctions, autres ensembles... On donne par conséquent volontiers des exemples d'ensembles en dehors du monde mathématique. Par exemple : lundi est un élément de la totalité des jours de la semaine ; une bibliothèque est un ensemble de livres, etc.

Un même objet peut être élément de plusieurs ensembles : 4 est un élément de la totalité des nombres entiers, mais aussi de la totalité des nombres pairs (forcément entiers). Ces deux derniers ensembles sont illimités, ils ont une illimitété d'éléments.

L'appartenance d'un élément, noté par exemple x, à un ensemble, noté par exemple A, s'écrit : x\in A.

Cet énoncé peut se lire :

  • «x appartient à A»,
  • «x est élément de A»,
  • «x est dans A»,
  • «A a pour élément x»,
  • «A possède x»,
  • ou quelquefois «A contient x» (il y a ambiguïté cependant dans ce dernier cas, A contient x peut signifier que x est un sous-ensemble de A, c'est-à-dire que x est un ensemble et que tous ses éléments appartiennent à A, ce qui est particulièrement différent de «x appartient à A»).

Le symbole «∈», dérive de la lettre grecque ε (epsilon) introduite par Giuseppe Peano dès 1889[1]. Pour Peano «x ε A» se lit «x est un A», par exemple «x ε N» se lit «x est un entier». Le ε renvoie à l'd'origine du mot «est» (en latin, langue de l'article de Peano de 1889 !), en français, ou en italien («è»). Bertrand Russell reprend les notations de Peano en 1903 dans les Principles of Mathematics[2], ouvrage qui va participer à leur diffusion, et où est utilisée la forme arrondie vieillie[3] du epsilon : «ϵ», en usage dans l'édition mathématique anglo-saxonne.

Comme fréquemment pour les relations, on barre ce symbole pour indiquer sa négation, la non-appartenance d'un objet à un ensemble :

«z \notin A» veut dire «z n'appartient pas à A».

Égalité de deux ensembles

En mathématiques – et pas uniquement en mathématiques d'ailleurs –, on considère que deux objets sont égaux lorsqu'il s ont les mêmes propriétés, qu'on ne peut par conséquent les distinguer l'un de l'autre – c'est la définition de l'égalité de Leibniz. Dire lorsque deux objets sont égaux, c'est-à-dire lorsque deux expressions désignent en fait le même objet, c'est par conséquent donner une information sur ce que sont ces objets. En principe des ensembles on décide qu'un ensemble est totalement caractérisé par ses éléments, son extension, tandis qu'il peut avoir plusieurs définitions. A titre d'exemple, il n'y a pas lieu de distinguer la totalité des entiers différents d'eux-mêmes et la totalité des entiers supérieurs à l'ensemble des nombres premiers : ces deux ensembles sont l'ensemble des deux vides, par conséquent égaux – ils ont bien les mêmes éléments –, même s'ils ont des définitions différentes, et sont vides pour des raisons particulièrement différentes.

On dira par conséquent que deux ensembles A et B sont égaux (on le notera comme d'habitude A = B) lorsqu'il s ont précisément les mêmes éléments. Cette propriété est connue sous le nom d'extensionnalité :

(Extensionnalité)    A = B si et uniquement si ∀x (xAxB)

où «⇔» sert à désigner l'équivalence logique. Deux ensembles qui ont les mêmes éléments sont bien semblables : tout ce qui peut être dit de l'un peut être dit de l'autre. Si nous nous représentons les deux ensembles comme des sacs étiquetés chacun par leur nom, s'ils sont égaux, alors il s'agit en fait d'un seul et même sac avec deux étiquettes. Par contre, les propriétés d'un ensemble ne dépendent totalement pas de la nature ou de la forme du sac, uniquement de son contenu.

Ainsi un ensemble est totalement déterminé par ses éléments. Lorsque un ensemble est fini, il est par conséquent envisageable de le définir en donnant la liste de ses éléments, qu'on note habituellement entre accolades. Par exemple la totalité auxquels appartiennent les éléments 2, 3, et 5, et uniquement ces éléments, est noté {2, 3, 5}. La totalité est défini en extension.

Mais on ne peut procéder ainsi en toute généralité, on ne pourrait définir ainsi un ensemble illimité. Même si quelques artifices de notation qui ressemblent à la notation en extension sont envisageables (voir ci-après), la façon la plus générale de définir un ensemble est de donner une propriété caractéristique des éléments de cet ensemble. A titre d'exemple, on pourra définir la totalité des nombres premiers par une propriété caractéristique de ceux-ci : être différent de 1 et avoir pour seuls diviseurs 1 et lui-même. On parle de définition en compréhension[4]. La totalité {2, 3, 5} peut être défini en compréhension comme la totalité de l'ensemble des nombres premiers inférieurs à 6. La définition en extension des ensembles finis peut être vue comme un cas spécifique simple de définition en compréhension : par exemple la totalité {2, 3, 5} est caractérisé par la propriété, pour un nombre entier, d'être égal à 2 ou à 3 ou à 5.

Ensembles finis

Lorsque on parle d'ensembles finis, c'est en un sens intuitif, sans avoir vraiment défini cette notion. Un ensemble est fini lorsque on peut compter ses éléments avec entiers tous plus petits qu'un entier donné.

Les ensembles finis peuvent être définis en extension, par la liste de leurs éléments, et décrits comme tels ; on place la liste des éléments d'un ensemble entre accolades, comme on l'a déjà vu pour la totalité {2, 3, 5}. A titre d'exemple, la totalité des jours de la semaine peut être représenté par { lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche }.

La notation d'un ensemble en extension n'est pas unique : un même ensemble peut être noté en extension de façon différentes.

toujours avec le même exemple, { 1, 2, 2 } = { 1, 1, 1, 2 } = { 1, 2 }.

À cause de la propriété d'extensionnalité, il n'est pas question de distinguer des ensembles par le nombre de répétitions d'un même élément à ces ensembles : un élément appartient ou n'appartient pas à un ensemble, il ne peut appartenir à un ensemble une, deux, ou trois fois... On pourrait imposer que la notation se fasse sans répétitions, ce serait assez malcommode dès qu'interviennent des variables : on ne pourrait noter un ensemble en extension sans devoir supposer que ses éléments sont différents.

Il peut arriver qu'on ait besoin d'ensemble «avec répétition», dans le cas fini, il s'agit plus précisément, de suites finies à l'ordre des éléments près, on définit alors la notion de multiensemble fini (qui peut se définir à partir de la notion de suite finie).

Les ensembles réduits à un seul élément sont nommés singletons. Par exemple la totalité qui contient pour seul élément 0 est nommé «singleton 0» et noté {0}. Les ensembles qui ont précisément deux éléments sont nommées paires, la paire des éléments 1 et 2, notée {1, 2}, ne doit pas être confondue avec le couple (1, 2), qui a un ordre déterminé.

Lorsque on axiomatise la théorie des ensembles, les paires (et singletons) jouent un rôle spécifique, voir l'article Axiome de la paire.

Par extensionnalité, il n'y a qu'un seul ensemble sans éléments, la totalité vide, qu'on note ∅ ou { }.

Définition d'un ensemble en compréhension

Un ensemble peut être défini en compréhension, c'est-à-dire qu'on le définit par une propriété caractéristique parmi les éléments d'un ensemble donné. Ainsi la totalité des entiers naturels pairs est clairement défini par compréhension, par la propriété «être pair» parmi les entiers naturels. On peut utiliser la notation d'un ensemble en compréhension[5], par exemple pour la totalité des entiers naturels pairs, on écrira (\mathbb N désignant la totalité des entiers naturels)  :

On définira de la même façon (\mathbb Z désignant la totalité des entiers relatifs)  :


La formulation générale est :

\{x \in E \mid P(x) \},

Cette construction a besoin d'un ensemble déjà existant E et d'une propriété P définie sur l'ensemble des éléments de E. Elle permet par conséquent de construire des sous-ensembles mais pas la réunion d'une famille d'ensembles, ni l'ensemble des parties d'un ensemble, ni même les ensembles finis définis par la liste de leurs éléments comme au paragraphe précédent. On pourrait néenmoins écrire, par exemple pour la totalité des parties P (E) = { A | AE }

Il n'est pas pour tout autant pour tout autant envisageable de définir un ensemble par n'importe quelle propriété, et lever entièrement la restriction de la compréhension. Si c'était le cas on pourrait définir la totalité {x | x ∉ x}, ce qui conduit à une contradiction (c'est le paradoxe de Russell). La restriction de la compréhension à un ensemble connu protège contre ce genre de paradoxes, elle correspond directement au schéma d'axiomes de compréhension de la théorie de Zermelo. Cette restriction ne peut se lever que dans des cas spécifiques précis, qui correspondent à d'autres axiomes de la théorie de Zermelo (axiome de la paire, axiome de la réunion, axiome de la totalité des parties).

On n'a pas dit ce qu'on entendait par «propriété» ou «condition». Malgré la restriction précédente, on ne peut tout autoriser, sous peine d'autres paradoxes comme le paradoxe de Richard ou le paradoxe de Berry, qui fait intervenir, par exemple, «la totalité des entiers naturels définissables en moins de quinze mots français». Il est indispensable de préciser le langage dans lequel on peut définir ces conditions. Surtout ce langage doit être défini a priori, et ne peut être étendu qu'avec définitions qui sont soit de simples abréviations, soit résultent de preuves d'existence et d'unicité.

Ensemble défini comme image directe

Pour noter la totalité des carrés parfaits non nuls (voir exemple au paragraphe précédent) on peut utiliser la notation plus concise :

\{yˆ2 \mid y\in \mathbb N\ {\rm et}\ y\geq 1 \}

dont la forme générale est :

\{ f(x)\;;\; x\in E\}=\{y\mid \exists x\in E,\ y=f(x)\}

Elle représente la totalité des images d'un ensemble E par une application f. La totalité obtenu se nomme image directe de E par f. C'est une variante de la notation en compréhension ci-dessus. Elle se déduit de celle-ci, en utilisant la définition d'une fonction, si F est la totalité d'arrivée de la fonction f[6] :

\{ f(x)\;\mid\; x\in E\}=\{y\in F\;\mid\; \exists x\in E,\ y=f(x)\}.

De cette notation dérivent d'autres notations facile à comprendre

2\mathbb N = \{ 2n\;;\; n\in \N\}
A+B =\{a+ b\;;\; a\in A\ et\ b\in B\}
E\times F=\{(x,y)\;;\; x\in E\ et\ y \in F\}
\prod_ {i\in I}E_i=\{(x_i)_{i \in I}\;;\; \forall i\in I,\ x_i\in E_i\}

Ces notations ont leur avantage et leur inconvénient. D'un côté, elles favorisent une compréhension immédiate des ensembles reconnus et rendent accessibles à l'intuition des objets plus compliqués. D'un autre côté, ces notations masquent un quantificateur existentiel indispensable tant qu'on veut utiliser cet ensemble.

Autres notations

Il existe d'autres notations commodes, surtout pour les ensembles de nombres, et d'une façon plus générale pour les ensembles complètement ordonnés.

On peut utiliser des points de suspension, pour des notations inspirées de la notation en extension pour des ensembles de cardinalité illimitée, ou finie mais non déterminée. A titre d'exemple, la totalité des entiers naturels peut se noter par :  \mathbb N = { 0, 1, 2, 3, ... }. S'il est clair d'autre part que n sert à désigner un entier naturel, {1, 2, ..., n}, ou alors {1, ..., n} sert à désigner généralement la totalité des entiers supérieurs ou égaux à 1 et inférieurs ou égaux à n. De même on peut écrire  \mathbb Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }, ou encore {-n, -n+1, ...., n-1, n}. Lorsqu'il y a un procédé itératif simple pour génèrer les éléments de la totalité, on peut se risquer à des notations comme {0, 2, 4, 6, ... } pour la totalité des entiers naturels pairs etc. On peut évidemment utiliser ces notations pour des ensembles ayant «beaucoup» d'éléments, {1, 2, ..., 1000} plutôt que d'écrire les mille premiers nombres entiers non nuls, ou encore { 3, 5, ..., 21 } plutôt que { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 }.

Toutes ces notations ne sont pas systématiques, ni universelles, et pour les dernières au moins, pas particulièrement rigoureuses. On peut toujours signaler, la notation, rigoureuse celle-ci, de certains sous-ensembles de la droite réelle, les intervalles.

Par abus de notation, quelquefois on ne note pas la variable dans la définition en compréhension, mais uniquement la propriété. Ainsi on note un ensemble en plaçant entre accolades la nature, ou une propriété caractéristique, des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {chiens} sert à désigner la totalité de l'ensemble des chiens ; pour prendre un exemple plus mathématique, on pourrait écrire quelquefois {pairs} pour la totalité des nombres pairs.

Notes et références

  1. dans Arithmetices Principia, nova methodo exposita, Turin, Bocca 1889, rep. Opera Scelte vol II ed. cremonese Roma 1958, voir aussi du même auteur le Formulaire de mathématiques Tome I (1895) disponible sur
  2. Cambridge University Press 1903
  3. voir en :epsilon
  4. On parle aussi de définition par intension, par ressemblance à extension. Cet emploi est surtout habituel dans le contexte des ontologies et dans celui des modèles relationnels de données en informatique (fondements des bases de données).
  5. qui apparaît sous une forme légèrement différente dans les Operazioni della logica Deduttiva (1888) de Peano (voir Opera Scelte vol II, cité ci-dessus)  : on trouve «x : [f (x) = 0]» pour «la totalité des x tels que f (x) est nul».
  6. En principe des ensembles, une fonction est fréquemment définie simplement par son graphe : comme un ensemble de couples ayant les propriétés correctes. Dans ce cas la totalité d'arrivée n'est pas précisé. On montre cependant que l'image directe d'un ensemble par une fonction est un ensemble en utilisant que la projection d'un ensemble de couples est un ensemble, ce qui se déduit du schéma d'axiomes de compréhension.

Voir aussi

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