Éléments d'Euclide

Les Éléments sont un traité mathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisés thématiquement, certainement rédigé par le mathématicien grec Euclide vers 300 av.



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Géométrie euclidienne - Livre historique de mathématiques - Mathématiques de l'Antiquité

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  • Le livre I des Éléments d'Euclide contient les fondements pour la suite de l'ouvrage : 35 définitions de vocabulaire 5 demandes (ou postulats selon Proclos)... (source : techno-science)
Couverture de la première édition anglaise des Éléments par Henry Billingsley, 1570

Les Éléments (en grec ancien Στοιχεία / Stoikheía) sont un traité mathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisés thématiquement, certainement rédigé par le mathématicien grec Euclide vers 300 av. J. -C. Il comprend une collection de définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujets de la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitive.

Les Éléments sont le plus ancien exemple connu d'un traitement axiomatique et systématique de la géométrie et son influence sur le développement de la logique et de la science occidentale est principale. Il s'agit certainement du recueil qui a rencontré le plus de succès au cours de l'Histoire : les Éléments furent l'un des premiers livres imprimés (Venise, 1482) et n'est précédé que par la Bible pour le nombre d'éditions publiées (beaucoup plus de 1 000). Pendant des siècles, il a est membre du cursus universitaire standard.

Principes

Une des plus anciennes versions connues des Éléments.

La méthode d'Euclide a consisté à baser ses travaux sur des définitions, des "demandes" (postulats), des «notions ordinaires» (axiomes), et des propositions (problèmes résolus). A titre d'exemple, le livre I contient 35 définitions (point, ligne, surface, etc. ), cinq postulats et cinq notions ordinaires.

Postulats du livre I :

  1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.
  2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
  3. Etant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre.
  4. Tous les angles droits sont congruents.
  5. Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont nécessairement sécantes de ce côté.

Notions ordinaires du livre I :

  1. Des choses qui sont identiques à une même chose sont identiques entre elles.
  2. Si des choses identiques sont ajoutées à d'autres choses identiques, leurs sommes sont identiques.
  3. Si des choses identiques sont soustraites à d'autres choses identiques, les restes sont égaux.
  4. Des choses qui coïncident avec une autre sont identiques entre elles.
  5. Le tout est plus grand que la partie.

Postérité

Le succès des Éléments est dû essentiellement à la présentation logique de la quasi-totalité du savoir mathématique dont Euclide disposait. L'utilisation systématique et efficace du développement des démonstrations à partir d'un jeu réduit d'axiomes incita à les utiliser comme livre de référence pendant des siècles.

Tout au long de l'Histoire, quelques controverses entourèrent les axiomes et les démonstrations d'Euclide. Néanmoins, les Éléments restent une œuvre principale dans l'histoire des sciences et furent d'une influence énorme. Les scientifiques européens Nicolas Copernic, Johannes Kepler, Galileo Galilei et spécifiquement Isaac Newton furent tous influencés par les Éléments et appliquèrent leur connaissance du livre à leurs propres travaux. Certains mathématiciens (Bertrand Russell, Alfred North Whitehead) et philosophes (Baruch Spinoza) ont aussi tenté d'écrire leurs propres Éléments, des structures déductives axiomatiques appliquées à leurs disciplines respectives.

Des cinq postulats énoncés dans le livre I, le dernier, dont on déduit le postulat des parallèles : «en un point extérieur à une droite, ne passe qu'une unique droite qui lui est parallèle», a toujours semblé moins évident que les autres. Plusieurs mathématiciens soupçonnèrent qu'il pouvait être démontré à partir des autres postulats, mais l'ensemble des tentatives pour ce faire échouèrent. Vers le milieu du XIXe siècle, il fut démontré qu'une telle démonstration n'existe pas, que le cinquième postulat est indépendant des quatre autres et qu'il est envisageable de construire des géométries non-euclidiennes cohérentes en prenant sa négation.

Histoire

Les premières traces écrites des notions de longueurs et d'orthogonalité sont babyloniennes et remontent à une période localisée entre 1900 et 1600 av. J. -C. . On y trouve la connaissance du théorème de Pythagore au moins pour le cas d'un triangle dont les côtés sont de longueurs respectives trois, quatre et cinq.

La première formalisation est rassemblée dans un ouvrage nommé Les Éléments. Il contient tout le savoir mathématique de l'époque. Quoique la majorité des théorèmes leurs soient antérieurs, les Éléments étaient suffisamment complets et rigoureux pour éclipser les œuvres géométriques qui les ont précédés et peu de choses sont connues sur la géométrie pré-euclidienne.

Son auteur Euclide d'Alexandrie (325-265 av. J. -C. ) est un mathématicien grec qui fut certainement un disciple d'Aristote (-384-322 av. J. -C. ) . Son histoire mais aussi celle de ce livre sont mal connues. Trois hypothèses sont avancées à son sujet. Euclide est :

  • soit un personnage historique principal auteur des Eléments,
  • soit à la tête d'une école mathématique
  • soit un nom d'auteur qu'a utilisé un groupe de mathématiciens pour rédiger une compilation, ce nom serait alors une référence au philosophe grec Euclide de Mégare (450-380 av. J. -C. ) [1].

Si la première hypothèse a été admise sans l'ombre d'un doute pendant plus de 2000 ans, elle reste toujours la plus vraisemblable. Par contre, il est quasiment établi qu'Euclide était à la tête d'une école mathématique vigoureuse et ses disciples ont sans doute contribué à la rédaction [2] des Eléments. Hippocrate de Chios (470-410 av. J. -C. ) est l'auteur du contenu des ouvrages I et II des éléments, si on en croit le philosophe byzantin Proclos (411-487) . Il rédige de lui «Il était le premier à écrire pour la compilation désormais connue sous le nom des Eléments» [3].

L'ouvrage fut traduit en arabe après avoir été donné aux Arabes par l'Empire byzantin, puis traduit en latin selon les textes arabes (Adelard de Bath au XIIe siècle, repris par Campanus de Novare). La première édition imprimée date de 1482 et le livre fut depuis traduit dans une grande variété de langues et publié dans plus de 1 000 éditions différentes. Des copies du texte grec existent toujours, par exemple dans la bibliothèque du Vatican ou à la Bodleian Library à Oxford, mais ces manuscrits sont de qualité variable et toujours incomplets[4]. Par analyse des traductions et des originaux, il a été envisageable d'émettre des hypothèses sur le contenu originel, dont il ne subsiste aucune copie intégrale.

Axiomatisation ultérieure

Les mathématiciens du XIXe siècle découvrirent que les démonstrations d'Euclide nécessitent des hypothèses additionnelles, non spécifiées dans le texte original. David Hilbert modifia la liste pour en apporter un jeu complet en 1899 dans un article intitulé Les fondements de la géométrie. La liste des axiomes de Hilbert en contient 20.

Livres

Les Éléments sont organisés comme suit :

Il existe deux livres apocryphes, présents en annexe dans la traduction de Heath.

Références

  1. J Itard, Les livres arithmétique d'Euclide (Paris, 1962)
  2. Biographie d'Euclide dans Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990)
  3. T L Heath, A History of Greek Mathematics I (Oxford, 1921), 182-202
  4. Cf. Folkerts 1989.

Voir aussi

Liens externes

Bibliographie

Éléments d'Euclide
Livre ILivre IILivre IIILivre IVLivre VLivre VI
Livre VIILivre VIIILivre IXLivre XLivre XILivre XIILivre XIII

Recherche sur Amazone (livres) :



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