Élément neutre

En mathématiques, un élément neutre d'un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui laisse l'ensemble des autres éléments inchangés quand il est combiné avec eux par cette loi.

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Algèbre générale - Zéro

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exemples : 0 est l'élément neutre pour l'addition des nombres réels et on peut comprendre pourquoi, il n'a pas d'"influence" sur le résultat de l'addition... (source : homeomath.imingo)

En mathématiques, un élément neutre (ou élément identité) d'un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui laisse l'ensemble des autres éléments inchangés quand il est combiné avec eux par cette loi. Un ensemble possédant un élément neutre est dit unifère.

Définition

Soit $E$ un ensemble pourvu d'une loi de composition interne $\top$ . Soit $e\in E$ .

$e$ est dit élément neutre à gauche si $\forall x \in E,\ e \top x = x$ .
$e$ est dit élément neutre à droite si $\forall x \in E,\ x \top e = x$ .
$e$ est dit élément neutre s'il est neutre à droite ainsi qu'à gauche.

Exemples

L'élément neutre ne l'est que pour la loi reconnue :

0 est l'élément neutre de l'addition arithmétique, mais aussi du «ou» binaire.
1 est l'élément neutre de la multiplication arithmétique, mais aussi du «et» binaire.
La matrice unité d'ordre n est l'élément neutre de la multiplication des matrices carrées d'ordre n.
Le mot vide ε est l'élément neutre de la concaténation des chaînes de caractères.
Si $E = {e 1, e 2}$ et est pourvu de la loi de composition interne $\top$ définie par $e_1\top e_1=e_2\top e_1=e_1$ et $e_2\top e_2=e_1\top e_2=e_2$ , alors $e 1$ et $e 2$ sont l'ensemble des deux éléments neutres à gauche. Il n'y a pas dans ce cas d'élément neutre à droite.

Propriétés

Il est envisageable que l'élément neutre à gauche (resp. à droite) ne soit pas unique. A titre d'exemple, considérons un ensemble $E$ contenant au moins deux éléments. on peut définir une loi $G$ sur $E$ par la formule $G (x, y) = x$ et une loi $D$ par la formule $D (x, y) = y$ . Pour la loi $G$ , tout élément est neutre à droite et aucun n'est neutre à gauche. Pour la loi $D$ , tout élément est neutre à gauche et aucun n'est neutre à droite.

En revanche, s'il existe un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite (a priori égaux ou non), alors la totalité admet un unique élément neutre, et en outre, tout élément neutre à gauche (resp. à droite) lui est égal. En effet, cette propriété est une conséquence du lemme suivant : soit un ensemble pourvu d'une loi de composition interne $\top$ ayant un élément neutre à gauche $e g$ et un élément neutre à droite $e d$ , alors $e_g=e_g\top e_d=e_d$ .

Voir aussi

Élément absorbant
Élément symétrique
Inverse

Groupe
Monoïde
Quasigroupe

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