Droite réelle achevée

En mathématiques, la droite réelle achevée sert à désigner la totalité constitué des nombres réels auxquels on adjoint deux éléments notés et.



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  • Ce symbole est une constante définie comme suit : Pour tout nombre réel x... Ou de définir la " droite réelle achevée ". Etc. Ainsi qu'à ne pas confondre avec la... (source : les-mathematiques)
  • ainsi obtenu, est nommé droite réelle achevée. Les éléments et sont non réels... Sur le nouvel ensemble ainsi défini, on prolonge la relation d'ordre... (source : caseeworld)
  • La droite réelle achevée est par conséquent continue au sens topologique moderne. De même l'intervalle fermé [0, 1] ou tout autre intervalle réel fermé borné.... (source : books.google)

En mathématiques, la droite réelle achevée sert à désigner la totalité constitué des nombres réels auxquels on adjoint deux éléments notés + \infty et - \infty (qui ne sont pas des nombres). On la note \overline{\mathbb{R}} (la barre symbolise ici le voisinage), [−∞, +∞] ou \mathbb{R} ∪ {−∞, +∞}.

Cet ensemble est particulièrement utile en analyse, et spécifiquement dans certaines théories de l'intégration.

Propriétés

+∞ et -∞ sont définis par les propriétés suivantes :

L'une des particularités notables de cet ensemble est que tout ensemble inclus dans la droite réelle achevée admet une limite supérieure et une limite inférieure, y compris l'ensemble vide (noté ∅, et qui dans la droite réelle achevée admet + \infty comme limite inférieure, et - \infty comme limite supérieure).

Opérations

L'addition et la multiplication définis sur la totalité des réels restent valables dans la droite achevée.

Addition

Multiplication

(+ \infty) \times (+ \infty) = (+ \infty)

(+ \infty) \times (- \infty) = (- \infty)

(- \infty) \times (- \infty) = (+ \infty)

Opérations indéterminées

(+ \infty) + (- \infty) n'est pas défini.

La division par zéro reste impossible, ne serait-ce que parce que comme tout réel non-nul divisé par +∞ ou -∞ donne 0, on ne peut pas choisir si un nombre divisé par 0 donne +∞ ou -∞. De même, les expressions 0 \times (+ \infty) et 0 \times (- \infty) n'ont aucun sens.

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