Droite

Pour les Anciens, la droite, en mathématiques et en particulier en géométrie, était un objet allant de soi, si évident qu'on négligeait de préciser de quoi on parlait.



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Définitions :

  • En géométrie, une droite est une suite rectiligne de points (comme un fil tendu). Une droite n'a pas de limite. Le plus court chemin entre deux points est la ligne droite. (source : pagesperso-orange)

Pour les Anciens, la droite, en mathématiques et en particulier en géométrie, était un objet allant de soi, si évident qu'on négligeait de préciser de quoi on parlait. L'un des premiers à formaliser la notion de droite fut le grec Euclide dans ses Éléments. Avec le développement du calcul algébrique et du calcul vectoriel, d'autres définitions vinrent s'ajouter. Mais c'est l'apparition des géométries non euclidiennes qui a conduit à la découverte de nouveaux types de droites, et , par là-même, nous a forcés à éclaircir et approfondir ce concept.

Point de vue concret

«La ligne droite est le plus court chemin pour aller d'un point à un autre»[1].

Cette définition simple suffit à certaines applications concrètes. Elle permet par exemple au jardinier de tracer ses lignes de semis : en tendant une corde entre deux piquets, il matérialise une ligne tirée au cordeau. Une autre image habituelle est celle du fil à plomb[1]. C'est-à-dire, dans les deux cas, un fil tendu dont on néglige l'épaisseur.

Cette définition est celle d'un segment. Une droite, à la différence d'un segment, est infinie des deux côtés.

Différentes limitations de cette définition ont conduit les mathématiciens à lui en préférer d'autres. A titre d'exemple, si on assimilie la Terre à une sphère, le chemin le plus court entre deux points n'est plus une ligne droite, mais un arc de cercle. Cependant, à l'échelle d'un être humain, ce cercle est si grand qu'une ligne droite en est une bonne approximation[2]. La notion de «chemin le plus court» est étudiée sous le nom de géodésique.

L'approche d'Euclide

Définition formelle

Dans ses éléments, Euclide définit les objets relevant de la géométrie (point, droite, plan, angle) et leur affecte un certain nombre de propriétés (postulats). Avec ces éléments de base, il essaie de construire, par des démonstrations rigoureuses, la totalité des autres propriétés.

Pour Euclide :

Il part d'une droite finie qu'il définit comme un segment. Il a besoin d'un postulat pour la prolonger au-delà de ses extrémités, d'un autre pour en prouver l'existence (Par deux points différents passe une droite) et d'un autre nommé le cinquième postulat d'Euclide pour traiter des positions relatives des droites (Si une droite coupe deux autres droites, de telle façon que la somme des angles intérieurs du même côté soit plus petite que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. ) dont plusieurs versions équivalentes peuvent être données.

Applications

L'approche d'Euclide est féconde, elle sert à démontrer de nombreux théorèmes reconnus comme élémentaires au regard des mathématiques au sens moderne du terme. On peut citer le théorème de Thalès, le théorème de Pythagore ou encore le problème de Napoléon.

Approche algébrique

Motivations

La définition axiomatique d'Euclide apparait trop pauvre pour résoudre plusieurs familles de problèmes. On peut citer historiquement ceux associés à la construction à la règle et au compas, par exemple la trisection de l'angle, la duplication du cube ou encore la construction d'un polygone régulier. Une approche algèbre est utilisée pour pallier cette faiblesse. Avec la notion de polynôme cyclotomique, Gauss réalise une percée majeure dans ce domaine en 1801 qu'il publie dans son ouvrage Disquisitiones arithmeticæ.

Les progrès de la physique génèrent une nouvelle branche des mathématiques, originellement nommée calcul illimitétésimal et désormais calcul différentiel. Elle obtient comme premier succès la compréhension de la mécanique céleste. Une fois toujours, la modélisation d'Euclide est insuffisante pour formaliser convenablement ce domaine.

Géométrie vectorielle

Une nouvelle construction est alors proposée, elle se fonde sur des structures algébriques. Les groupes abéliens et les corps sont utilisées pour définir un espace vectoriel puis un espace affine.

En géométrie vectorielle, une droite est un sous-espace vectoriel de dimension 1. On peut la nommer aussi droite vectorielle.

Si v est un vecteur non nul, la droite vectorielle génèrée par v est la totalité des vecteurs w pour lesquels il existe un scalaire (un réel pour un espace vectoriel sur R) k tel que w = kv. On dit tandis que les vecteurs v et w sont colinéaires.

Géométrie affine

En géométrie affine, une droite est un sous-espace affine de dimension 1. Si A est un point et v un vecteur non nul, la droite affine génèrée par A et v est la totalité des points M pour lesquels il existe un scalaire k tel que \vec{AM}=kv. Le vecteur v est nommé vecteur directeur de la droite.

On peut aussi définir la droite passant par les points différents A et B comme la totalité des barycentres des points A et B.

Applications

La notion de droite est alors beaucoup généralisée. L'espace vectoriel peut être de cardinal fini comme pour les codes linéaires utilisés dans la théorie de l'information, ou en arithmétique. Une droite est alors un ensemble fini de points discrets. L'espace vectoriel peut être une extension de corps comme dans le cadre de la théorie de Galois, la totalité des nombres rationnels dans le corps des réels possède les propriétés géométrique d'une droite.

En analyse, et spécifiquement en analyse fonctionnelle une droite est un ensemble de fonctions. Par exemple les primitives d'une fonction continue réelle de la variable réelle forment une droite.

Logique et géométrie

Motivation

L'approche algébrique permet d'enrichir particulièrement beaucoup la géométrie et offre des réponses satisfaisantes à bon nombre de problèmes. Par contre une vielle conjecture reste ouverte : comment démontrer le cinquième postulat d'Euclide. Proclos l'exprime de la manière suivante : Dans un plan, par un point différent d'une droite d, il existe une unique droite parallèle à d.

Déjà, les grecs savaient qu'une sphère semble pouvoir définir une géométrie, les droites seraient alors les grands cercles de la sphère. Par contre, la connexion entre une sphère et la définition d'une géométrie reste à cette époque hors de portée.

Rôle de Hilbert

David Hilbert apporte un élément de réponse. La construction d'Euclide n'est pas entièrement rigoureuse. Il manque en effet, quinze axiomes pour bâtir les fondements d'un dispositif logique à même de supporter la géométrie euclidienne. Une telle formalisation existe, on parle par exemple d'axiomes de Hilbert.

La réponse à la question que pose le cinquième postulat est par conséquent de l'ordre de la logique. La base axiomatique d'Euclide constituée des quatre premiers postulats est trop faible pour garantir le cinquième.

Si l'approche de Hilbert sert à résoudre cette question, elle est peu opérationnelle pour bâtir la théorie de la géométrie euclidienne. On utilise généralement la base axiomatique de Peano pour construire la totalité des entiers naturels puis les différentes structures algébriques utilisées. L'intérêt des travaux de Hilbert sur cette question est par conséquent en particulier de l'ordre de la logique et peu géométrique.

Géométries non euclidiennes

Bien avant de comprendre la dimension logique de la problématique et dans le courant du XIXe, sont nées d'autres géométries dans lesquelles la droite n'avait plus les mêmes propriétés que dans la géométrie euclidienne : les géométries non euclidiennes.

En géométrie projective, des droites parallèles se coupent en un point impropre et par deux points ne passe qu'une seule droite.

En géométrie hyperbolique, par un point donné, non localisé sur une droite donnée, il passe au moins deux droites qui ne coupent pas la droite donnée.

En géométrie elliptique, deux droites sont toujours sécantes. Un exemple classique de géométrie elliptique est la géométrie sur une sphère où le plus court chemin pour aller d'un point à un autre est une partie d'un grand cercle. Une droite est alors définie comme un grand cercle. Deux droites différentes se coupent alors en deux points diamétralement opposés qui n'en forment qu'un pour cette géométrie. On retrouve la propriété : par deux points différents passe une seule droite.

De plus on peut aussi définir une droite comme un cercle de rayon illimité.

Cette définition est incompatible avec celle issue de l'algèbre linéaire. Dans ce contexte, on parle généralement de géodésique pour éviter une confusion.

Géométrie analytique

Si l'espace vectoriel est pourvu d'une base, ou l'espace affine d'un repère, la droite peut être caractérisée par des équations.

Espace affine de dimension 2

Une droite affine est la totalité des points M de coordonnées (x ; y) tels que ax + by + c = 0 \,, où (a ; b) \neq (0;0). Un vecteur directeur de la droite est le vecteur de coordonnées (− b;a) . L'équation précédente est nommée équation cartésienne de la droite.

Dans cette famille de droites, on rencontre

m représente la pente de la droite.

Faisceau de droites

Espace affine de dimension n

En dimension n, la droite passant par A(a_1;a_2;.
_n) \, et de vecteur v(v_1;v_2;...;v_n) \, est la totalité des points M(x_1;x_2;...;x_n) \, pour lesquels il existe un scalaire k tel que

\left\{\begin{matrix} x_1 = a_1+kv_1  \\ x_2=a_2 + kv_2 \\ ... \\ x_n = a_n+kv_n \end{matrix}\right.

Ce dispositif d'équations se nomme un dispositif d'équations paramétrées de la droite.

Cas spécifique de l'espace (dimension 3), en :

c(t)=\begin{pmatrix}
x_0+t.x'_0\\
y_0+ty'_0\\
z_0+tz'_0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\theta\\
\frac{r_1}{\cos(\theta-\theta_0)}\\
h_0+\frac{h_1}{\cos(\theta-\theta_0)}\\
\end{pmatrix}

Annexes

Bibliographie

Notes et références

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