Division

La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction " multiplication par ce nombre".



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Opération - Divisibilité et factorisation - Arithmétique élémentaire - Mathématiques élémentaires

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Définitions :

  • Le fait de se diviser → voir division cellulaire; Graduation, marque qui divise; Élément d'un ensemble divisé organiquement; Direction... (source : fr.wiktionary)

La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction "multiplication par ce nombre".

On peut distinguer fréquemment la division "exacte" (celle dont on parle ici) de la division "avec reste" (la division euclidienne). Le résultat d'une division se nomme le quotient.

Problématique

La division sert :

Question : Si on répartit équitablement 500 grammes de poudre de perlimpimpin entre huit personnes, combien chacune d'elle obtiendra-t-elle ?
Réponse : \dfrac{500}{8} = 62,5, chacun obtient 62, 5 grammes de poudre de perlimpimpin
Question : Si on répartit 500 grammes de poudre de perlimpimpin par tranche de 70 g, combien de personnes pourra-t-on servir ?
Réponse : \dfrac{500}{70} = 7,14.. , on pourra servir 7 personnes et il restera de quoi servir 1/7 de personne (... )

Vocabulaire et notations - historique

Le symbole actuel de la division est un trait horizontal séparant le numérateur (dividende) du dénominateur (diviseur). A titre d'exemple, a divisé par b se note \dfrac ab.

Le dénominateur donne l'expression et le numérateur énumère : \dfrac 34 indique qu'il s'agit de quarts, et qu'il y en a troistrois quarts

Diophante et les Romains, au IVe siècle écrivaient déjà des fractions sous une forme identique, les Indiens aussi au XIIe siècle et la notation moderne fut adoptée par les Arabes.

Le symbole  : a été plus tard utilisé par Leibniz.

Les fabricants de calculatrices impriment les symboles ÷ ou / sur la touche «opérateur division». L'utilisation de ces symboles est plus ambiguë que la barre de fraction, dans la mesure où elle demande de définir des priorités, mais elle est pratique pour l'écriture «en ligne» utilisée en imprimerie ou sur un écran.

Aujourd'hui en France, en classe de 6e de collège, les notations ÷,  :' et / sont utilisées, car la division a pour les élèves un statut d'opération. Une nuance de sens est couramment admise :

Définition

Étant donné un anneau intègre (A, +, ×) , la division sur A est la loi de composition : A\times A \to A, notée par exemple «÷», telle que \forall (a,b,c)\in A\times A\times A, a ÷ b = c si et uniquement si b × c = a.

L'intégrité de l'anneau assure que la division a bien un résultat unique. Par contre, elle n'est définie que sur A\times(A-\{0\}) si et uniquement si A est un corps, et en aucun cas définie pour b = 0.

Si la division n'est pas définie partout, on peut étendre conjointement la division et la totalité A : Dans le cas commutatif, on définit sur A\times A une relation d'équivalence \sim par (a,b)\sim(a',b')\iff a\times b' = a'\times b et on écrit a ÷ b la classe de (a, b) dans l'anneau quotient. Cet anneau quotien est un corps dont le neutre est la classe 1 ÷ 1. C'est ainsi qu'on construit \mathbb{Q} en symétrisant \mathbb{Z} pour la multiplication (ou \mathbb{Z} à partir de \mathbb{N} en symétrisant l'addition).

Cette définition ne recouvre pas celle de division euclidienne, qui se pose de manière analogue mais dont le sens est radicalement différent.

Dans l'idée, elle sert aussi à inverser la multiplication (dans a, combien de fois b). Le problème de définition ne se pose plus, puisque \forall (a,b)\in \mathbb{N}\times(\mathbb{N}-\{0\}), \{n\in\mathbb{N}\ |\ b\times n<=a\} est une partie de \mathbb{N} non vide et majorée, qui admet par conséquent un plus grand élément.

Cette division, principale en arithmétique, introduit la notion de reste. Néanmoins, comme pour l'ensemble des divisions, le b de la définition ne peut être zéro, en effet, une division par 0 donnerait un résultat illimité.

Propriétés

La division n'était pas à proprement parler une opération (loi de composition interne, définie partout), ses "propriétés" n'ont pas d'implications structurelles sur les ensembles de nombres, et doivent être comprises comme des propriétés des nombres en écriture fractionnaire.

"Non-propriétés"

Remarques

Algorithme de la division

Cet algorithme permet de déterminer une écriture décimale du quotient de deux nombres entiers, qui se généralise au quotient de deux nombres décimaux

Occasionnellemen, la division "ne se termine pas", ce qui veut dire que l'algorithme itère à l'infini.

Dans ce cas, le quotient est un rationnel non décimal, et on peut prouver que son développement décimal admet une période, dont la longueur est strictement inférieure au diviseur.

Dans une division non exacte a\divb (a et b étant deux nombres entiers, b non nul), si on note qp et rp respectivement le quotient et le reste obtenus après p en poussant les itérations jusqu'à obtenir p chiffres après la virgule du quotient, on obtient un encadrement ou une égalité :

\dfrac ab \approx q_p à 10 p près ou q_p <\dfrac ab < q_p+10ˆ{-p}


et


\dfrac ab = q_p + \dfrac {r_pˆ{-p}}{b}

Un nombre irrationnel (réel, sans être rationnel) ne peut s'écrire sous forme de fraction, par définition.

Mathématiques et langue française

On peut diviser une entité en un nombre de parties dont l'addition donne cette entité, par un moyen implicite ou explicite.

Ainsi, on peut :

On peut aussi diviser par dichotomie ou par malice, mais diviser par 2 est un concept mathématique.
\dfrac ab = c : «a divisé par b est égal à c».

Voir aussi

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