Diviseur

En mathématiques, un diviseur d'un entier n, aussi nommé un facteur de n s'il est un entier qui divise aussi n sans laisser un reste.



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Divisibilité et factorisation - Arithmétique élémentaire - Mathématiques élémentaires

En mathématiques, un diviseur d'un entier n, aussi nommé un facteur de n s'il est un entier qui divise aussi n sans laisser un reste. A titre d'exemple, 7 est un diviseur de 42 parce que 42/7 = 6. Nous disons aussi 42 est divisible par 7 ou 42 est un multiple de 7 ou 7 divise 42 et nous écrivons le plus souvent 7 | 42. Les diviseurs peuvent être positifs ou négatifs. Les diviseurs positifs de 42 sont {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

Certains cas spéciaux : 1 et -1 sont les diviseurs de chaque entier, et chaque entier est un diviseur de 0. Les nombres divisibles par 2 sont nommés pairs et ceux qui ne le sont pas sont nommés impairs.

Le nom vient de l'opération arithmétique de division : si a, b sont des entiers avec b non nul, et si a/b=c est un entier, alors a est le dividende, b le diviseur, et c le quotient.

Critères pour les petits diviseurs

Il existe certaines règles qui permettent de reconnaître les petits diviseurs d'un nombre à partir du nombre de ses chiffres décimaux.

Un critère de divisibilité est un critère que vous pouvez utiliser pour déterminer la divisibilité d'un nombre par un autre nombre. Ceux-ci sont basés sur les congruences modulo le diviseur cherché.

A titre d'exemple, en dispositif décimal, nous voulons savoir le critère pour le diviseur 3.

10 est congru à 1 modulo 3, 100 est congru à 1 modulo 3, ..., 10ˆn est congru à 1 modulo 3

Tout nombre en système décimal s'écrivant :

an \times 10ˆn + \ldots + a2 \times 10ˆ2 + a1 \times 10ˆ1 + a0 \times 10ˆ0\,, il vient
an \times 1 +...+ a2 \times 1 + a1 \times 1 + a0 \times 1\,

c'est-à-dire la somme des cœfficients des puissances de 10, c'est-à-dire la somme des chiffres qui composent le nombre, ceux-ci doivent être divisibles par 3 pour que le nombre soit divisible par 3.

Notions supplémentaires et résultats

Quelques propriétés élémentaires :

Tout nombre entier n possède pour diviseurs triviaux, 1 et lui-même.

Un diviseur positif de n, différent de n et 1, est nommé un diviseur propre (ou diviseur strict, ou une partie aliquote) de n. Un nombre qui ne divise pas aussi n, mais qui laisse un reste, est nommé une partie aliquante de n.

Un nombre entier n > 1 qui ne possède pas de diviseur propre est nommé un nombre premier. (Les nombres 0 et 1 ne sont pas premiers. )

N'importe quel diviseur de n est le produit de diviseurs premiers de n avec une certaine puissance en exposant. Ceci est une conséquence du théorème essentiel de l'arithmétique.

Si un nombre est égal à la somme de ses diviseurs stricts, il est nommé un nombre parfait. Les nombres inférieurs à cette somme sont dits déficients, tandis que les nombres plus grands que cette somme sont dits abondants.

Le nombre total de diviseurs propres de n est une fonction multiplicative d (n) (par exemple :

d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)\,).

La somme des diviseurs propres de n est une autre fonction multiplicative \sigma(n)\, (par exemple :

\sigma(42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma(2) \times \sigma(3) \times \sigma(7)\,).

La relation | de divisibilité munit la totalité \mathbb{N} des nombres entiers positifs d'une relation d'ordre partiel, ce qui en fait un ensemble partiellement ordonné, en fait dans un réseau distributif complet. Le plus grand élément de ce treillis est 0 et le plus petit est 1. La relation binaire de limite supérieure \vee est donnée par le PGCD et la relation binaire de limite inférieure \wedge par le PPCM. Ce réseau est isomorphe au dual du réseau des sous-groupes du groupe cyclique illimité \mathbb{Z}\,.

Si un nombre entier n est écrit dans une base b, et d est un nombre entier avec b ≡ 1 (mod d), alors n est divisible par d si et uniquement si la somme de ses chiffres est divisible par d. Le critère donné pour d=3 donné plus haut est un cas spécifique de ce résultat. (b=10).

Article détaillé : arithmétique modulaire.

Si la décomposition en facteurs premiers de n est donnée par

 n = p_1ˆ{\nu_1} \, p_2ˆ{\nu_2} \cdots p_nˆ{\nu_n}

alors le nombre de diviseurs positifs de n est

 d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_n + 1),

et chaque diviseur est de la forme

 p_1ˆ{\mu_1} \, p_2ˆ{\mu_2} \cdots p_nˆ{\mu_n}

 \forall i : 0 \le \mu_i \le \nu_i.

Diviseurs dans un anneau

Dans un anneau commutatif intègre A, un diviseur d'un éléement a\in A est un élément non nul b\in A tel qu'il existe c\in A avec a = bc (c'est à dire a appartient à l'idéal bA). Cette notion est intéressante en particulier dans un anneau factoriel (dont l'anneau des entiers est un exemple).

Diviseurs en géométrie algébrique

En géométrie algébrique, le mot «diviseur» est utilisé dans un sens différent. Les diviseurs sont une généralisation des sous-variétés de codimension 1 de variétés algébriques ; deux généralisations différentes sont d'un usage commun, les diviseurs de Cartier et les diviseurs de Weil. Les deux concepts coincident dans les cas des variétés non-singulières.

Voir aussi

Liens externes

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"Faire la somme des diviseurs"

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