Distributivité

Dans un calcul faisant intervenir par exemple des nombres entiers ou réels, la distributivité sert à passer d'un produit de sommes à une somme de produit.



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Vocabulaire de l'algèbre

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Dans un calcul faisant intervenir par exemple des nombres entiers ou réels, la distributivité sert à passer d'un produit de sommes à une somme de produit. A titre d'exemple,

2x (5 + 3) = (2x5) + (2x3).

Le premier facteur 2 a été distribué à chacun des deux termes de la somme 5+3. On parle aussi de développement, l'opération inverse étant la factorisation. L'égalité est bien vérifiée dans ce cas spécifique, à gauche 2x8 = 16, à droite 10+6 = 16, et se généralise aux nombres usuels (entiers ou non)  : on dit que la multiplication y est distributive comparé à l'addition.

D'une façon plus générale, en algèbre on étudie des lois de composition internes sur les ensembles. L'addition et la multiplication des réels en sont des exemples. Une loi interne \circ est distributive comparé à une autre loi interne \star dans un ensemble S si pour tous x, y, z dans S, on a les propriétés suivantes :

 x \circ ( y \star z ) = ( x \circ y ) \star ( x \circ z )   (Distributivité à gauche)  ;
 ( x \star y ) \circ z = ( x \circ z ) \star ( y \circ z )   (Distributivité à droite).
Une illustration géométrique de la distributivité

Calcul élémentaire : les entiers

Si les facteurs d'un produit sont des sommes, on peut effectuer les produits terme à terme puis effectuer la somme : la multiplication est distributive comparé à l'addition. Cette propriété intervient dans le calcul élémentaire.

Exemple.
235x99=235x (100-1) =23 500-235=23 265.

De même, la multiplication par les nombres uniformes 9, 99, 999, etc se ramène une soustraction en utilisant la distributivité.

Exemple.
458x592= (400+50+8) x (500+90+2) =200 000+36 000+800+25 000+4 500+100+4000+720+16=271 136.

Les algorithmes pour calculer effectivement un produit d'entiers utilisent fortement la distributivité. Elles reviennent à effectuer dans un ordre ou dans un autre la somme écrite ci-dessus.

Concept de nombre

La distributivité de la multiplication comparé à l'addition, c'est-à-dire que pour tous x, y et z on a :

 (y + z) \times x = (y \times x)+(z \times x)

qui est vérifiée pour les entiers, couvre aux nombres rationnels aux nombres réels, ainsi qu'aux nombres complexes.

A titre d'exemple, on montre, en utilisant entre autres la distributivité de la multiplication complexe, que (1 + i) 2 = 1 + 2i + i2 = 2i, c'est-à-dire que (1 + i) est une racine carrée de 2i, et d'une façon plus générale, le produit de deux nombres complexes de la forme n+mi avec n et m entiers, qu'on nomme entiers de Gauss, est toujours un entier de Gauss. Ce constat utilise la distributivité de la multiplication complexe.

Cette distributivité reste toujours valable pour les quaternions de Hamilton, même si la multiplication n'est plus commutative.

Autre famille d'exemples : les quotients de Z héritent de l'addition et de la multiplication, et ces lois induites vérifient toujours la distributivité.

Distributivité des lois binaires

Anneaux et corps.

La distributivité est une notion importante en algèbre et apparait dans de nombreuses définitions de structures, à commencer par les anneaux, les corps et les espaces vectoriels. Un anneau A est pourvu de deux lois binaires notées fréquemment + et x, telles que, entre autres, la loi x est distributive comparé à +. Certaines identités remarquables, qui utilisent fortement la distributivité, utilisent aussi la commutativité. Elles ne sont pas le plus souvent valides sur les anneaux non commutatifs, comme les anneaux de matrice.

Dans la définition d'un K-espace vectoriel E, la multiplication externe par des scalaires est distributive comparé à l'addition des vecteurs. Ici, on a affaire à une loi externe et non une loi interne, mais le vocabulaire reste le même.

Treillis.

Sur la totalité \mathcal{P}(X) des parties de X, on dispose de deux lois binaires : la réunion \cup et l'intersection \cap. Elles sont distributives l'une comparé à l'autre. Explicitement :

A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C) et A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C).

La réunion A\cup B est la plus petite partie de X contenant A et B. Au contraire l'intersection A\cap B est la plus grande partie contenue dans A et B à la fois.

D'une façon plus générale, un treillis est un ensemble partiellement ordonné S dans lequel toute partie finie admet un majorant et minorant. On note x\cup y (join) et x\cap y (meet) le majorant et le minorant de x et de y. Le treillis est dit distributif quand les deux lois sont distributives l'une comparé à l'autre :

x\cup (y\cap z)=(x\cup y)\cap (x\cup z) et x\cap (y\cup z)=(x\cap y)\cup (x\cap z).

Exemple de non distributivité

Les nombres ordinaux sont une généralisation à l'infini des entiers, qui sont les ordinaux finis, les entiers. La somme et le produit des entiers se généralisent naturellement à l'ensemble des ordinaux. Cependant, lorsque interviennent des ordinaux illimités, si le produit reste distributif à gauche comparé à l'addition, il n'y a plus de distributivité à droite.

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