Distribution de Pareto

La distribution de Pareto est la formalisation de la loi de Pareto, aussi nommée principe des 80-20, courbe A-B-C. Cette distribution de probabilité suit une loi de puissance.



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Pareto
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonctions de masse pour divers k
Fonctions de masse pour plusieurs k avec xm = 1. L'axe horizontal symbolise le paramètre x . Quand k→∞ la distribution s'approche de δ (x − xm) où δ est fonction Delta de Dirac.
Fonction de répartition
Fonctions de répartition pour divers k
Fonctions de répartition pour plusieurs k avec xm = 1. L'axe horizontal symbolise le paramètre x 

Paramètres
Support x \in [x_m; +\infty)\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{k\,x_mˆk}{xˆ{k+1}}\!
Fonction de répartition 1-\left(\frac{x_m}{x}\right)ˆk\!
Espérance \frac{k\,x_m}{k-1}\! pour k > 1
Médiane (centre) x_m \sqrt[k]{2}
Mode xm
Variance \frac{x_mˆ2k}{(k-1)ˆ2(k-2)}\! pour k > 2
Asymétrie (statistique) \frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}\! pour k > 3
Kurtosis
(non-normalisé)
\frac{6(kˆ3+kˆ2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}\! pour k > 4
Entropie \ln\left(\frac{k}{x_m}\right) - \frac{1}{k} - 1\!
Fonction génératrice des moments non définie
Fonction caractéristique k (− ixmt) kΓ (− k, − ixmt)

La distribution de Pareto est la formalisation de la loi de Pareto, aussi nommée principe des 80-20, courbe A-B-C. Cette distribution de probabilité suit une loi de puissance.

Cet outil d'aide à la décision détermine les facteurs (environ 20%) cruciaux qui influencent la plus grande partie (80%) de l'objectif.

Historique

L'économiste italien Vilfredo Pareto (1848-1923) observa au début du XXe siècle que 20% de la population italienne possédait 80% de la richesse nationale d'où le nom de la loi 80-20 ou 20-80.

Cette observation fut généralisée plus tard par Joseph Juran.

Formalisme

Soit la variable aléatoire X qui suit une loi de Pareto de paramètres (xmin, k), alors la distribution est caractérisée par :

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Applications

Cette loi est un outil essentiel en gestion de la qualité. Elle est aussi utilisée en réassurance. La théorie des files d'attente s'est intéressée à cette distribution, quand des recherches des années 1990 ont montré que cette loi régissait aussi nombre de grandeurs observées dans le trafic Internet (et d'une façon plus générale sur l'ensemble des réseaux de données à grande vitesse). Ce phénomène a de sévères répercussions sur les performances des dispositifs (routeurs surtout).

Exemples

Cette loi n'est cependant pas applicable à l'ensemble des situations :

Distributions de probabilité

Les distributions de Pareto sont des distributions continues. La loi de Zipf, quelquefois appelée distribution zeta, peut être reconnue comme l'équivalent discret de la loi de Pareto.

Soit une variable aléatoire X suivant une distribution de Pareto, alors la probabilité que X soit plus grande qu'un réel x est donnée par :

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La distribution de Pareto est définie par deux paramètres, xm et k. Le paramètre k est fréquemment appelé indice de Pareto.

Moments

L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi de pareto est

E(X)=\frac{kx_m}{k-1} \,

(si k ≤ 1, l'espérance est illimitée).

Sa variance est

\mathrm{var}(X)=\left(\frac{x_m}{k-1}\right)ˆ2 \frac{k}{k-2}

(De nouveau : si k \le 2, la variance est illimitée).

Les moments d'ordre supérieur sont donnés par :

\mu_n'=\frac{kx_\mathrm{m}ˆn}{k-n} \,

mais ils ne sont définis que pour k > n.

Cela veut dire que la fonction génératrice (la série de Taylor en x où les μn'/ n! sont pris pour cœfficients) n'est pas définie. Cette propriété est vraie généralement pour les variables aléatoires présentant le caractère'heavy tail'.

La fonction caractéristique est donnée par :

\varphi(t;k,x_m)=k(-ix_m t)ˆk\Gamma(-k,-ix_m t)

où Γ (a, x) est la fonction gamma incomplète.

La distribution de Pareto est reliée à la distribution exponentielle par :

f(x;k,x_\mathrm{m})=\mathrm{Exponentielle}(\ln(x/x_\mathrm{m});k)\,

La fonction delta de Dirac est un cas limite de la distribution de Pareto :

\lim_{k\rightarrow \infty} f(x;k,x_\mathrm{m})=\delta(x-x_\mathrm{m}).

Propriétés

La distribution de Pareto est Heavy tailed, ce qui veut dire que :

<img class=y > 0.

A titre d'exemple, si X est le temps de vie d'un composant, plus il a vécu (X>x) plus il a de chances de vivre longtemps : le dispositif rajeunit.

Estimation des paramètres

Fonction de vraisemblance : Maximum de vraisemblance : Estimation de l'indice : estimateur de Hill

Voir aussi

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