Distance de Hellinger

En Théorie des probabilités, pour toutes mesures de probabilités P et Q totalement continues comparé à une troisième mesure λ, le carré de la distance de Hellinger entre P et Q est donné par ...

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Probabilités - Espace métrique

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Une étude directe de la distance de Hellinger est aussi proposée.... Annales de l'I. H. P. Probabilités et statistiques ISSN 0246-0203 CODEN AHPBAR... (source : cat.inist)
Une étude directe de la distance de Hellinger est aussi proposée.... In Lectures on Probability theory. École d'été de Probabilités de St-Flour 1992... (source : projecteuclid)
(ii) Soit µ une loi de probabilité sur Θ. La redondance bayésienne de la classe.... la divergence de Kullbach soit illimitée tandis que la distance de Hellinger est finie..... probabilités — à la distance de Hellinger, nous avons besoin... (source : math.u-psud)

En Théorie des probabilités, pour toutes mesures de probabilités $P$ et $Q$ totalement continues comparé à une troisième mesure $λ$ , le carré de la distance de Hellinger entre $P$ et $Q$ est donné par :

$Hˆ2(P,Q) = \frac{1}{2}\displaystyle \int \left(\sqrt{\frac{dP}{d\lambda}} - \sqrt{\frac{dQ}{d\lambda}}\right)ˆ2 d\lambda.$

où $\frac{dP}{d\lambda}$ et $\frac{dQ}{d\lambda}$ désignent respectivement les dérivées de Radon-Nykodym de $P$ et $Q$ et $P$ et $Q$ . Cette définition ne dépend pas de $λ$ , si bien que la distance de Hellinger entre $P$ et $Q$ ne change pas si $λ$ est remplacée par une autre mesure de probabilité comparé à laquelle $P$ et $Q$ soient totalement continues.

Pour alléger l'écriture, la formule précédente est fréquemment écrite :

$Hˆ2(P,Q) = \frac{1}{2}\int \left(\sqrt{dP} - \sqrt{dQ}\right)ˆ2.$

La distance de Hellinger $H (P, Q)$ ainsi définie vérifie :

$0\le H(P,Q) \le 1.$

Remarque : Certains auteurs ne font pas figurer le facteur 1/2 précédant l'intégrale dans cette définition.

Exemples

La distance de Hellinger entre deux lois normales $P\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1ˆ2)$ et $Q\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2ˆ2)$ est donnée par

$H\left(P, Q\right)=\sqrt{\frac{1}{2}-\sqrt{ \frac{\sigma_1\sigma_2}{2\left(\sigma_1ˆ2+\sigma_2ˆ2\right)}eˆ{-\frac{1}{2}\frac{\left(\mu_1-\mu_2\right)ˆ2}{\sigma_1ˆ2+\sigma_2ˆ2}}}}$

La distance de Hellinger entre deux lois exponentielles $P ∼\sim \rm{Exp}(\alpha)$ et $Q∼\sim \rm{Exp}(\beta)$ est donnée par :

$H\left(P, Q\right) = 2 - \frac{4 \sqrt{\alpha \beta}}{\alpha + \beta}$

References

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