Distance de Hellinger

En Théorie des probabilités, pour toutes mesures de probabilités P et Q totalement continues comparé à une troisième mesure λ, le carré de la distance de Hellinger entre P et Q est donné par ...



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Probabilités - Espace métrique

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Une étude directe de la distance de Hellinger est aussi proposée.... Annales de l'I. H. P. Probabilités et statistiques ISSN 0246-0203 CODEN AHPBAR... (source : cat.inist)
  • Une étude directe de la distance de Hellinger est aussi proposée.... In Lectures on Probability theory. École d'été de Probabilités de St-Flour 1992... (source : projecteuclid)
  • (ii) Soit µ une loi de probabilité sur Θ. La redondance bayésienne de la classe.... la divergence de Kullbach soit illimitée tandis que la distance de Hellinger est finie..... probabilités — à la distance de Hellinger, nous avons besoin... (source : math.u-psud)

En Théorie des probabilités, pour toutes mesures de probabilités P et Q totalement continues comparé à une troisième mesure λ, le carré de la distance de Hellinger entre P et Q est donné par :

Hˆ2(P,Q) = \frac{1}{2}\displaystyle \int \left(\sqrt{\frac{dP}{d\lambda}} - \sqrt{\frac{dQ}{d\lambda}}\right)ˆ2 d\lambda.

\frac{dP}{d\lambda} et \frac{dQ}{d\lambda} désignent respectivement les dérivées de Radon-Nykodym de P et Q et P et Q. Cette définition ne dépend pas de λ, si bien que la distance de Hellinger entre P et Q ne change pas si λ est remplacée par une autre mesure de probabilité comparé à laquelle P et Q soient totalement continues.

Pour alléger l'écriture, la formule précédente est fréquemment écrite :

Hˆ2(P,Q) = \frac{1}{2}\int \left(\sqrt{dP} - \sqrt{dQ}\right)ˆ2.

La distance de Hellinger H (P, Q) ainsi définie vérifie :

0\le H(P,Q) \le 1.

Remarque : Certains auteurs ne font pas figurer le facteur 1/2 précédant l'intégrale dans cette définition.


Exemples


H\left(P, Q\right)=\sqrt{\frac{1}{2}-\sqrt{
\frac{\sigma_1\sigma_2}{2\left(\sigma_1ˆ2+\sigma_2ˆ2\right)}eˆ{-\frac{1}{2}\frac{\left(\mu_1-\mu_2\right)ˆ2}{\sigma_1ˆ2+\sigma_2ˆ2}}}}

H\left(P, Q\right) = 2 - \frac{4 \sqrt{\alpha \beta}}{\alpha + \beta}

References

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