Disquisitiones arithmeticae

Disquisitiones Arithmeticæ est un ouvrage de théorie des nombres rédigé par le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss.



Catégories :

Livre historique de mathématiques - Carl Friedrich Gauss - Texte de mathématiques en latin

Recherche sur Google Images :


Source image : mathsforeurope.digibel.be
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Questions et réponses des PriceMembers sur Gauss, Carl - Friedrich : Recherches Arithmétiques - Traduction Française Des Disquisitiones Arithmeticæ... (source : priceminister)
  • The Disquisitiones Arithmeticæ (Latin for Number Research) is a textbook of number theory written in Latin by Carl Friedrich Gauss in 1798 when Gauss was... (source : en.wikipedia)
  • Start a new discussion about'Disquisitiones Arithmeticæ'... The Disquisitiones Arithmeticæ is a textbook of number theory. Number theory... (source : absoluteastronomy)
Couverture de la première édition.

Disquisitiones Arithmeticæ est un ouvrage de théorie des nombres rédigé par le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss. Sa première publication date de 1801. Dans ce livre, Gauss réorganise le domaine en incluant des résultats obtenus par certains de ses prédécesseurs, comme Fermat, Euler, Lagrange ou Legendre, mais ajoute en particulier des contributions importantes, qu'il s'agisse de notions (comme celle de congruence), de théorèmes (comme les critères de construction à la règle et au compas d'un polygone régulier dans un cercle) ou de démonstrations (comme les premières preuves de la loi de réciprocité quadratique). Lu et retravaillé par de nombreux mathématiciens au cours des deux derniers siècles, le livre a instauré des normes de rigueur nouvelles et a eu un impact décisif sur des sujets aussi variés que la théorie de Galois, les tests de primalité ou la théorie des idéaux[1]. Il a été traduit en plusieurs langues[2] et reste une source de réflexion vivante, comme en témoignent les travaux récents de Manjul Barghava en 2004[3].

Sujet

Dans la préface aux Disquisitiones, Gauss présente ainsi l'ambition de son ouvrage :

Les Recherches contenues dans cet ouvrage appartiennent à cette branche des mathématiques où on considère spécifiquement les nombres entiers, parfois les fractions, mais où on exclut toujours les nombres irrationnels. [4]

Les Disquisitiones traitent de l'arithmétique élémentaire sur les entiers, de l'arithmétique modulaire, c'est-à-dire des propriétés des entiers reconnus à un multiple près d'un entier fixé, de la représentation des entiers comme valeurs de formes quadratiques, par exemple comme sommes de deux carrés. La dernière section sort néanmoins du cadre indiqué, dans la mesure où elle est consacrée à l'étude de l'équation xn − 1 = 0 et fait appel à des fonctions transcendantes comme les fonctions cosinus ou sinus. Comme le justifie l'auteur

l'exposition fera voir bien clairement quelle est la liaison de ce sujet et de l'Arithmétique transcendante[5]

Contenu

Le livre est divisé en sept sections et 366 articles :

Section 1. Sur les nombres congrus généralement.
Section 2. Sur les congruences du premier degré.
Section 3. Sur les résidus des puissances.
Section 4. Sur les congruences du second degré.
Section 5. Sur les formes et les équations indéterminées du second degré.
Section 6. Applications diverses des recherches précédentes.
Section 7. Sur les équations définissant des sections de cercles.

Une huitième section devait être publiée dans un deuxième volume qui ne vit jamais le jour ; trouvée dans les manuscrits de Gauss, elle fut éditée après sa mort dans ses Œuvres complètes (Werke[6]).

Dans la description suivante, nous donnerons les divers énoncés dans la formulation de Gauss, mais aussi dans une formulation actuelle. Lorsque Gauss emploie une appellation spécifique, cela sera souligné.

Section 1 : Des nombres congrus généralement

Cette section particulièrement courte introduit une nouvelle notion et une nouvelle notation dont l'impact sur le développement de la théorie des nombres (en particulier l'arithmétique modulaire) a été important : celles de congruence. Le livre s'ouvre sur sa définition :

Si un nombre a divise la différence des nombres b et c, b et c sont dits congrus suivant a, sinon incongrus. a s'appellera le module ; chacun des nombres b et c, résidus de l'autre dans le premier cas, et non résidus dans le second[7].

La notation'≡'est introduite à la section suivante et adoptée, indique Gauss, «à cause de la grande ressemblance qui existe entre l'égalité et la congruence». Ainsi -16 ≡ 9 (mod. 5) exprime le fait que 5 divise -16-9. Gauss établit le fait que tout entier a un résidu modulo m compris entre 0 et m − 1 (art. 3 et 4), puis prouve que la notion de congruence est compatible avec les opérations usuelles de l'arithmétique, c'est à dire que les entiers modulaires forment un anneau (art. 5 à 9).

Section 2

Cette section contient en premier lieu des résultats sur les entiers, prouvés avec congruences : le lemme d'Euclide apparaît à l'article 14, le théorème de décomposition en produit de facteurs premiers est l'objet de l'article 16. Gauss en déduit ensuite plusieurs conséquences, dont un des lemmes dits'de Gauss' (article 19) et en particulier la résolution des congruences linéaires, c'est-à-dire des équations de degré 1 en les résidus (art. 24 et 29). Il donne deux méthodes, attribuées à Euler et Lagrange, pour résoudre ces équations, en observant qu'elles mènent au même algorithme (art. 27 et 28) [8]. Les articles 30, puis 33, et les suivants, exposent diverses méthodes relevant du théorème des restes chinois ; mais ce dernier ne fait pas l'objet d'un énoncé formellement identifié. L'article 37 aborde les dispositifs de congruences du premier degré à plusieurs inconnues. La fin de cette section inclut plusieurs énoncés qui seront utilisés dans la suite : les propriétés de la fonction indicatrice d'Euler (article 38), dont Gauss fixe d'ailleurs la notation désormais courante : le lemme de Gauss sur les cœfficients des polynômes (article 42)  : le théorème de Lagrange selon lequel une congruence polynomiale modulo un nombre premier ne peut avoir plus de racines que son degré (articles 43-44).

Section 3

Cette section est consacrée à l'étude de progressions géométriques modulo un nombre premier p, c'est-à-dire de suites a, a2, a3, ... modulo p (pour un entier a non divisible par p).

Les articles 45 et suivants traitent du petit théorème de Fermat (Fermatii theorema selon Gauss, qui en attribue la première démonstration publiée à Euler)  ; surtout, en 52-54, est traité le problème de connaître précisément le nombre de résidus modulaires d'un ordre multiplicatif donné, avec l'indicatrice d'Euler ; ce qu'on peut toujours exprimer en disant qu'il compte les racines primitives de l'unité pour un exposant donné. En 56, Gauss commente une tentative d'Euler pour obtenir une démonstration de ce résultat, qui tombe en défaut. Il s'intéresse ensuite aux racines des autres résidus que l'unité ; il décrit en premier lieu l'alternative sur le nombre de solutions (art. 60), puis s'intéresse à la possibilité de décider effectivement cette alternative sans recours aux tables (art. 64). L'existence de racines carrées de -1 modulo un nombre premier est par exemple traitée. Le problème de calculer effectivement des racines primitives (problème du logarithme discret) occupe les articles suivants. Gauss finit par déclarer que «la plupart des méthodes qui servent à trouver les racines primitives reposent en grande partie sur le tâtonnement»[9] (art. 73). Il décrit ensuite une version particulièrement générale du théorème de Wilson (art. 75), dont il attribue la publication à Waring (art. 76). Il s'intéresse aussi aux sommes géométriques (art. 79), ainsi qu'aux sommes de racines primitives (art. 81).

Gauss considère ensuite le cas d'un module composé, via surtout le théorème de Fermat-Euler (art. 83). Il s'intéresse à nouveau aux racines de l'unité (art. 85 et 89) et donne un critère pour l'existence de racines primitives (art. 92) - c'est-à-dire pour que le groupe des unités des anneaux reconnus soit cyclique.

Section 4

Gauss débute par montrer qu'il y a tout autant de résidus quadratiques («residua quadratica») et de non-résidus quadratiques modulo un nombre premier (art. 94 à 97)  ; il propose plusieurs méthodes pour arriver au résultat. Il traite ensuite la question d'un module composé (art. 100 à 106). Puis il pose la question, un nombre entier étant donné, de trouver l'ensemble des modules pour lesquels il sera résidu quadratique. Pour -1 (art. 108 à 111), la réponse a déjà été donnée à la partie précédente (art. 64)  ; deux autres démonstrations sont données, dont une se basant sur le théorème de Wilson. Puis sont traités les cas de 2 et -2 (art. 112 à 116), puis 3 et -3 (art. 117 à 120), 5 et -5 (art. 121 à 124).

La obligation d'une approche plus systématique étant établie, Gauss décrit en 131 ce qu'il nomme «théorème essentiel» [10] :

Tout nombre qui, pris positivement, est résidu ou non résidu de p, aura, pour résidu ou non résidu, +p ou -p, selon que p sera de la forme 4n+1 ou 4n+3. [11]

On reconnaît la loi de réciprocité quadratique ; Gauss donne ici la première démonstration de ce résultat, basée sur une récurrence, et une discussion portant sur résidus des entiers sur lesquels porte la récurrence ; il est amené à distinguer huit cas (art. 132 à 144). Il en déduit un algorithme pour déterminer si un nombre est résidu quadratique pour un module donné, mais en se basant sur la connaissance de la factorisation en nombres premiers (art. 146). art 147 à 150 ?

Section 5 : formes quadratiques

Gauss étudie en premier lieu les formes quadratiques entières à deux indéterminées. Son premier théorème (art. 154 à 156) donne une condition indispensable sur le discriminant (que Gauss nomme déterminant) d'une forme quadratique pour qu'elle représente un entier donné. Il considère ensuite ce qu'on peut traduire en langage moderne comme le problème de déterminer les classes de la totalité des formes quadratiques sous l'action du groupe Gl_2(\mathbb{Z}), et même d'une façon plus générale par la relation d'ordre induite par changements de coordonnées dans M_2(\mathbb{Z}), non obligatoirement inversibles, mais de déterminant non nul. Il introduit surtout les notions d'action propre et impropre, suivant le signe du déterminant du changement de variables. Ce sujet occupe les articles 157 à 165. Il fait ensuite le lien entre ces notions et la représentation des nombres par des formes (art. 166 à 170).

La suite a pour objet l'étude fine des classes pour les actions précédentes : détermination d'un représentant privilégié, dont la taille des cœfficients soit contrôlée, dispositif complet d'invariants, détermination d'une transformation pour passer d'un élément d'une classe vers un autre.

Section 6

Section 7 : polynôme cyclotomique et polygones réguliers

Section 8 (non publiée du vivant de Gauss)  : vers une théorie des corps finis

Les Disquisitiones Arithmeticæ dans l'histoire de la théorie des nombres

Sources et conception

Impact

Notes

  1. Catherine Goldstein, Norbert Schappacher et Joachim Schwermer (éds. ), The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss's Disquisitiones arithmeticæ [détail des éditions], 4e de couverture.
  2. Olaf Neumann, dans Ivo Grattan-Guinness (dir. ), Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940 [détail des éditions], p. 303 et Catherine Goldstein, Norbert Schappacher et Joachim Schwermer (éds. ), The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss's Disquisitiones arithmeticæ [détail des éditions], p. xi.
  3. Karim Belabas «Paramétrisation de structures algébriques et densité de discriminants (d'après Barghava)», dans Séminaire Bourbaki 2003-2004, exposé 935, p. 267-299, Paris : Société mathématique de France.
  4. La première phrase est : «Disquisitiones in hoc opere contentæ ad eam Matheseos partem pertinent quæ circa numeros integros versatur, fractis plerumque, surdis semper exclusis.»
  5. Recherches arithmétiques, section 7, article 335.
  6. Les œuvres complètes de Gauss ont été mises en ligne par le Göttinger Digitalisierungszentrum, http ://www. gdz-cms. de/index. php?id=toc&no_cache=1&IDDOC=38910.
  7. Il s'agit du premier article des Disquisitiones, énoncés dans la traduction française de 1807.
  8. Ceterum ex utraque methodo idem algorithmus derivatur.
  9. Methodi radices primitivas inveniendi maximam partem tentando innituntur.
  10. theorematis fundamentalis
  11. «Si p est numerus primus formæ 4n+1, erit +p, si vero p formæ 4n+3, erit -p residuum vel non residuum cuiuivis numeri primi qui positive acceptus ipsius p est residium vel non residium.»

Références

Editions papier

Editions en ligne


Recherche sur Amazone (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_arithmeticae.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu