Dérivée

En analyse, le nombre dérivé en un point d'une fonction à variable et valeurs réelles est le cœfficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point.



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Définitions :

  • Limite du taux d'accroissement d'une fonction d'une variable réelle en un point lorsque l'accroissement de la variable tend vers zéro (source : fr.wiktionary)

En analyse, le nombre dérivé en un point d'une fonction à variable et valeurs réelles est le cœfficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C'est le cœfficient directeur de l'approximation affine de cette fonction en ce point. (Ce nombre n'est par conséquent défini que si cette tangente — ou cette approximation — existe. ) La dérivée en un point d'une fonctions à plusieurs variables réelles, ou à valeurs vectorielles, est plus fréquemment nommée différentielle de la fonction en ce point, et n'est pas traitée ici.

La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé.

La notion de nombre dérivé a vu le jour au XVIIe siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui l'appelle fluxion et qui le définit comme «le quotient ultime de deux accroissements évanescents».

La dérivée de la fonction f\, est notée en mathématiques f'\, ou \frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x}. On utilise aussi des notations spécifiques (en particulier en physique) pour désigner la dérivée comparé au temps qui s'écrit avec un point surmontant la lettre. La dérivée seconde s'écrivant alors grâce à un tréma surmontant la lettre. On utilise dans le même esprit, les notations prime et seconde pour noter la dérivée comparé à l'espace.

La notion de dérivée est une notion principale en analyse. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d'optimisation.

En sciences, quand une grandeur dépend du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur, et la dérivée de la dérivée donne l'accélération. A titre d'exemple, la vitesse instantanée d'un mobile est la valeur à cet instant de la dérivée de sa position comparé au temps, et son accélération est la valeur à cet instant de la dérivée comparé au temps, de sa vitesse.

Il existe aussi une définition purement algébrique de la dérivée. On en trouve un exemple dans l'article polynôme formel.

Approche intuitive

En 0, la courbe est décroissante, par conséquent le nombre dérivé y est négatif (il vaut -1).

En 1, la courbe est toujours décroissante, mais la pente y est moindre (-0, 5).

En 2, la courbe est idéalement horizontale, par conséquent la dérivée est nulle (0).

En 3, la courbe est croissante, par conséquent le nombre dérivé y est positif (0, 5).

Pour approcher cette notion de manière intuitive, commençons par nous donner une courbe représentative d'une fonction continue dans un repère cartésien, c'est-à-dire tracée d'un seul trait de crayon, et bien «lisse», on dira là que la fonction associée est dérivable.

Quel que soit le point qu'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on nomme une tangente, c'est-à-dire une droite qui épouse localement la direction de cette courbe. Si on trace la courbe et sa tangente et qu'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal à distinguer la courbe de sa tangente. Si la courbe «monte» (c'est-à-dire si la fonction associée est croissante), la tangente sera aussi montante ; inversement, si la fonction est décroissante, la tangente sera descendante.

Si on se donne une abscisse x\,_0 pour laquelle la fonction f\, est dérivable, on nomme nombre dérivé de f\, en x\,_0 le cœfficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x\,_0. Ce réel donne de précieuses informations sur le comportement local d'une fonction : c'est la mesure algébrique de la vitesse à laquelle cette fonction change quand sa variable change. Pour une fonction à plusieurs variables, on parle de la dérivée partielle comparé à l'une de ses variables.

Ainsi, si le nombre dérivé d'une fonction est positif sur un intervalle, cette fonction sera croissante sur ce même intervalle. Inversement, s'il est négatif, elle sera décroissante. Quand le nombre dérivé est nul en un point, la courbe admet une tangente horizontale en ce point.

Approche historique

Article détaillé : Histoire du calcul illimitétésimal.
Gottfried Wilhelm von Leibniz

Dès la seconde moitié du XVIIe siècle, le domaine mathématique de l'analyse numérique rencontra une avancée prodigieuse grâce aux travaux de Newton et de Leibniz en matière de calcul différentiel et intégral, traitant surtout de la notion d'illimitément petit et de son rapport avec les sommes dites intégrales.

C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la première moitié du XVIIe siècle, a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait «touchantes»; le marquis de l'Hospital participera aussi à la fin du XVIIe siècle à étoffer cette nouvelle théorie, surtout en utilisant la dérivée pour calculer une limite dans le cas de formes indéterminées spécifiques (voir Règle de L'Hôpital). Wallis, mathématicien anglais (en particulier réputé pour la suite d'intégrales qui porte son nom) contribua aussi à l'essor de l'analyse différentielle.

Jean Le Rond d'Alembert.

Néanmoins cette théorie tout juste éclose n'est pas encore, à l'époque, pourvue de toute la rigueur mathématique qu'elle aurait exigée, et surtout la notion d'illimitément petit introduite par Newton, qui tient plus de l'intuitif, et qui pourrait génèrer des erreurs tant qu'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non négligeable. C'est au XVIIIe siècle que d'Alembert introduit la définition plus rigoureuse du nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement - sous une forme comparable à celle qui est utilisée et enseignée aujourd'hui. Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose problème : \R n'est pas encore construit formellement (voir Construction des nombres réels). C'est uniquement avec les travaux de Weierstrass au milieu du XIXe siècle que le concept de dérivée sera entièrement formalisé.

C'est à Lagrange (fin du XVIIIe siècle) qu'on doit la notation f'\left(x\right), actuellement particulièrement usuelle, pour désigner le nombre dérivé de f\, en x\,.

Définition formelle

Soit f\, une fonction réelle à valeurs réelles définie sur une réunion quelconque d'intervalles non triviaux, et x\,_0 appartenant à l'intérieur de la totalité de définition \mathcal{D}_f.

Pour tout h\in \Rˆ* tel que [x_0,x_0+h]\sub \mathcal{D}_f, on nomme taux d'accroissement de f\, en x\,_0 et avec un pas de h\, la quantité :

t_{x_0}(h) = {f(x_0+h)-f(x_0) \over h}

Il s'agit du cœfficient directeur de la droite reliant les points de coordonnées (x0, f (x0) ) et (x0 + h, f (x0 + h) ) . Si t_{x_0}(h) admet une limite finie quand h\, tend vers 0, on dit que f est dérivable en x0, auquel cas le nombre dérivé de f\, en x0 est égal à la limite de ce taux d'accroissement. On note alors :

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} t_{x_0}(h) = \lim_{h \to 0}{f(x_0+h)-f(x_0) \over h}

Ou, de manière équivalente :

f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}{f(x)-f(x_0) \over x-x_0}

Une fonction pour laquelle le taux d'accroissement en un point admet une limite finie (qui est le nombre dérivé) est dite dérivable en ce point.

Tangente2.gif

Ce calcul de limite revient graphiquement à rechercher la tangente à la courbe en ce point.

Ainsi, le nombre dérivé d'une fonction en un point, s'il existe, est égal à la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point.

La dérivation peut aussi être définie pour des fonctions d'une variable réelle à valeurs dans d'autres ensembles que \R.

A titre d'exemple, une fonction f\, d'une variable réelle, à valeurs dans \Rˆn, est dérivable en x\,_0 si et uniquement si toutes ses coordonnées sont dérivables en x\,_0 ; et sa dérivée est la fonction dont les coordonnées sont les dérivées des coordonnées de f\,. C'est un cas spécifique de fonctions de variable vectorielle ainsi qu'à valeur dans un espace vectoriel normé ou métrique.

Lien entre dérivabilité et continuité

Si une fonction est dérivable en un point alors elle est continue en ce point, mais la réciproque est fausse. Par exemple : au point 0, la fonction x\mapsto |x| est continue mais pas dérivable. Il en est de même de la fonction "racine cubique".

Fonction dérivée

La dérivabilité est a priori une notion locale (dérivabilité en un point), mais si une fonction est dérivable en tout point d'un intervalle, on peut définir sa fonction dérivée sur l'intervalle en question. La fonction dérivée de f, fréquemment notée f' (prononcer «f prime») est définie sur \mathfrak{D}_f et le domaine de dérivabilité de f (ensemble des points de \R en lesquels f est dérivable) est défini par :

f':\,\mathfrak{D}_f\rightarrow\R,\ x\mapsto f'(x)

C'est la fonction qui prend en tout point de \mathfrak{D}_f la valeur du nombre dérivé de f\, en ce point.

Ainsi, quand la fonction dérivable f est croissante, la fonction dérivée f'\, est positive. f'\, s'annule aux points où f admet des tangentes horizontales.

Les fonctions dérivées sont utilisées surtout dans l'étude des fonctions réelles et dans les équations différentielles. L'unique fonction (à une constante multiplicative près) égale à sa dérivée est la fonction exponentielle de base e (celle-ci est solution de y'= y, cf. article détaillé).

Notations

Il existe différentes notations pour exprimer la valeur de la dérivée d'une fonction f en un point a. On peut distinguer :

Dérivées usuelles et règles de dérivation

f'\, peut fréquemment se calculer directement à partir d'une expression de f\,, quand il s'agit d'une fonction «simple», en utilisant la table des dérivées usuelles. Pour des fonctions qui s'expriment comme combinaison linéaire de fonctions simples, comme produit, quotient ou composée, on utilise un petit nombre de règles algébriques déduites de la définition donnée plus haut. Les règles les plus fréquemment utilisées sont les suivantes :

Nom Règle Conditions
Linéarité (af)ˆ\prime = af' Quels que soient la fonction dérivable f\, et le réel a.
Linéarité (f+g)ˆ\prime = f' + g' Quelles que soient les fonctions dérivables f\, et g\,.
Produit (fg)ˆ\prime = f'g+fg' Quelles que soient les fonctions dérivables f\, et g\,.
Inverse \left({1\over g}\right)' = {-g'\over gˆ2} Quelle que soit la fonction dérivable g\, qui ne s'annule pas

(cas spécifique f =1 de la ligne suivante)

Quotient \left({f \over g}\right)' = {f'g-fg' \over gˆ2} Quelles que soient la fonction dérivable f\, et la fonction dérivable g\, qui ne s'annule pas
Composée (g \circ f)' = (g'\circ f) \cdot f' Quelles que soient les fonctions dérivables (et composables) f\, et g\,
Réciproque (fˆ{-1})' = \frac{1}{f' \circ fˆ{-1}} Quelle que soit la fonction f\, bijective de réciproque fˆ{-1}\,, dérivable de dérivée ne s'annulant en aucun point

En particulier, voici les règles courantes se déduisant de la dérivée de composées :

Nom Règle Conditions
Puissance (fˆ\alpha)ˆ\prime = \alpha fˆ{\alpha-1}f' Quel que soit \alpha \in \mathbb Z, et même quel que soit \alpha \in \mathbb R si f est positive
Racine \left(\sqrt{\!f}\right)' = {f' \over 2\sqrt{\!f}} Quelle que soit la fonction dérivable f\, strictement positive

(cas spécifique α=1/2 de la ligne précédente)

Exponentielle (\mbox{e}ˆf)ˆ\prime = \mbox{e}ˆf\cdot f' Quelle que soit f\, dérivable
Logarithme (\log_b f)ˆ\prime = {f' \over f \cdot \ln b} Quelle que soit la fonction dérivable f\, strictement positive
Logarithme (\ln f)ˆ\prime = {f' \over f} Quelle que soit la fonction dérivable f\, strictement positive (cas b=e de la ligne précédente)

Dérivation numérique

Principe de la dérivation numérique

Dans le cas d'une courbe expérimentale, on ne possède pas de fonction analytique pour la décrire, mais d'une série de valeurs (xi , yi ). On a par conséquent recours à une dérivation numérique, qui consiste simplement à approcher la valeur de la dérivée en un point i calculer le taux de variation entre les points précédent et suivant :

f'(x_i) \simeq \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{x_{i+1} - x_{i-1}}.

Graphiquement, cela revient à remplacer la tangente par la corde. Ceci peut se justifier par le théorème des accroissements finis : on sait qu'il existe un point de l'intervalle [xi-1 ; xi+1] pour lequel la dérivée est la pente de la corde, et si l'intervalle est petit, alors ce point est proche du milieu xi . Cette méthode est automatisable sur les calculatrices programmables et les ordinateurs.

Dérivation graphique

Dérivation graphique : on convertit la pente des droite en utilisant un pôle

On peut aussi effectuer une dérivation graphique, sans utiliser de calcul. On approche les tangentes par les cordes comme pour la méthode numérique. Puis, on tire des parallèles à ces droites passant par un point appelé pôle P. On considère l'intersection de ces droites avec la verticale passant par O, le segment [OP] étant horizontal. La hauteur vi des segments ainsi délimités est proportionnelle à la pente ai :

v_i = \mathrm{OP} \times a_i

on peut par conséquent reporter cette hauteur sur le graphique et obtenir une approximation de la courbe dérivée. L'échelle de l'axe des y est par conséquent de OP :1.

Dérivée d'ordre n

Article détaillé : Dérivation itérée.

On définit la dérivée d'ordre n pour une fonction n fois dérivable par récurrence :

\frac{{\mathrm d} ˆ{n+1}f}{{\mathrm d} xˆ{n+1}}=\frac{{\mathrm d} }{{\mathrm d} x} \frac{{\mathrm d} ˆn f}{{\mathrm d} xˆn}

\frac{{\mathrm d} ˆn f}{{\mathrm d} xˆn} est aussi notée fˆ{(n)}\,.

Formule de Leibniz

Si f et g sont des fonctions n fois dérivables, alors, par application de la règle du produit :

(fg)ˆ{(n)}=\sum_{k=0}ˆ{n} { n \choose k } fˆ{(k)}gˆ{(n-k)}.

En particulier pour n = 2,

(fg)''=f''g+2f'g'+fg''\,\!.

On notera l'ressemblance avec la formule du binôme de Newton.

Propriétés des fonctions dérivables

Théorème de Rolle

Soient a < b deux réels. Si f est continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[, et si f (a) = f (b) , alors il existe un réel c appartenant a l'intervalle ]a;b[ tel que f' (c) = 0.

Théorème des accroissements finis

Article détaillé : Théorème des accroissements finis.
Énoncé
Si une fonction ƒ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe un point x0 de ]a, b[ tel que le nombre dérivé de ƒ en ce point soit le taux de variation entre a et b
f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

En particulier, si f (a) = f (b) , on retrouve le théorème de Rolle, qui sert aussi à démontrer le résultat plus général (voir l'article détaillé), c'est pourquoi on le rencontre fréquemment sous le nom de lemme de Rolle. Cette propriété est utilisée en cinématique pour déterminer une approximation du vecteur vitesse à partir d'un relevé de point.

Théorème de Darboux

Article détaillé : Théorème de Darboux (analyse) .

Si f est dérivable, sa fonction dérivée f' n'est pas obligatoirement continue. Cependant f' possède la propriété des valeurs intermédiaires. Ceci forme le théorème de Darboux, qui peut se formuler de deux façons équivalentes : si f dérivable est définie sur I intervalle de R, f' (I) est un intervalle, ou : si f' (a) , pour tout t de [f' (a) ;f' (b) ], il existe c tel que f' (c) =t.

Dérivées des taux de variation liés

Énormément de problèmes font intervenir plusieurs variables qui sont liées entre elles et qui fluctuent selon le temps. La variation de l'une de ces variables donnera une variation correspondante des autres variables. Le lien entre ces variations dépendra des relations qui existent entre les variables.

Exemple :

Un homme s'avance à raison de 8 km/h vers une tour de 60 m de hauteur. A quelle vitesse s'approche t-il du sommet de cette tour quand il est à 80 m du pied de la tour? On sait par relation de Pythagore que la distance entre le piéton et le sommet est de 100 m. y et x, distances du piéton au sommet de la tour et au pied de celle-ci sont des fonctions du temps. Par relation de Pythagore : y2 = x2 + 602 implique y2 (t) = x2 (t) + 602 En dérivant les 2 membres de cette égalité, nous obtenons :

2y \frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} t}=2x \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t} implique \frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} t}=\frac{{x} }{{y} } \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t} :

la vitesse comparé au sommet de la tour vaut le rapport entre la distance au sol entre le piéton et le pied de la tour et la distance entre le piéton et le sommet de la tour multiplié par la vitesse du piéton. Quand le piéton est à 80 m du pied de la tour :

\frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} t}=\frac{{80} }{{100} } \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t}=\frac{{8} }{{10} } \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t},

ce qui revient à dire que la vitesse comparé au sommet de la tour vaut \tfrac{{8} }{{10} }\cdot8\; \rm \tfrac{{km} }{{h} }=6,{}4\;  \tfrac{{km} }{{h} }.

Analyse d'une fonction dérivée

En trouvant les valeurs de x pour lesquelles la dérivée vaut 0 ou n'existe pas, on trouve les nombres critiques de la fonction. Les nombres critiques de f permettent de trouver implicitement ses maximums et ses minimums. En effectuant le test de la dérivée première, on construit un tableau de variation ; si le signe de la fonction dérivée passe du plus au moins devant un nombre critique, on a un maximum et si le signe de la fonction dérivée passe du moins au plus devant le nombre critique, on a un minimum. Qui plus est , quand le signe de la dérivée première est positif, la fonction est croissante ; s'il est négatif, elle est décroissante. On ne conclut rien, si au point critique la fonction dérivée ne change pas de signe. En dérivant la dérivée première, on a la dérivée seconde. En effectuant le test de la dérivée seconde, on trouve les nombres critiques de la dérivée première pour les placer dans le même tableau ; quand on observe un changement de signe de la dérivée seconde devant ce ou ces nombres critiques, on dit qu'on a un (ou des ) point (s) d'inflexion. Les points d'inflexion marquent un changement de la concavité de la fonction. Un signe positif de la dérivée seconde veut dire que la fonction est convexe et un signe négatif de la dérivée seconde veut dire que la fonction est concave. Connaissant les changements de concavité et les extrema de la fonction, on peut alors tracer une esquisse de sa représentation graphique.

Dérivée et optimisation

Méthode pour optimiser un rendement à l'aide du calcul différentiel :

  1. Mathématisation
    • Définitions et dessin : on définit les variables inconnues et on les représente sur un schéma.
    • Écrire la fonction objectif à deux variables et préciser si on recherche un maximum ou un minimum dans la situation donnée.
    • Trouver la relation entre les deux variables.
    • Écrire la fonction objectif à une variable et préciser le domaine de la fonction.
  2. Analyse
    • Dériver la fonction pour obtenir la dérivée première.
    • Trouver les nombres critiques de la fonction, où la dérivée première vaut zéro ou n'existe pas dans les intervalles du domaine.
    • Effectuer le test de la dérivée première ou le test de la dérivée seconde pour déterminer le maximum ou le minimum recherché de la situation.
  3. On formule la réponse de façon concise comparé à la question.

Dérivée algébrique

Article détaillé : Polynôme formel.

Les algébristes donnent un sens légèrement différent au terme dérivée. Ils l'appliquent à une structure B nommée A-algèbre associative unitaire et commutative. Une application D, de B dans B est dite dérivée si :

  • L'application D est A-application linéaire.
  • La dérivée de l'élément 1B neutre de B pour l'addition est nulle.
  • Si b1 et b2 sont deux éléments de B, la dérivée de b1. b2 et égale à la somme du produit de la dérivée de b1 et de b2 et du produit de b1 avec la dérivée de b2.
 D(b_1\cdot b_2) = D (b_1)\cdot b_2 + b_1\cdot D(b_2)\;

Un exemple de dérivée définie de cette manière est donnée dans l'article détaillé.

Liens externes

Wikibooks Wikibooks possède des exercices sur le calcul de dérivées.

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