Démonstration

Démontrer une propriété c'est utiliser des théorèmes, des définitions ou des axiomes qu'on sait être vrais et quelques règles de logique élémentaire.



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  • Si un théorème est vrai alors sa contraposée est vraie. Tandis que le suivant est faux :... Le codage d'une figure lors d'une démonstration est un... (source : nicolas.patrois.free)
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Démontrer une propriété c'est utiliser des théorèmes, des définitions ou des axiomes qu'on sait être vrais et quelques règles de logique élémentaire.

Elle expose une justification d'une propriété nouvelle algébrique, géométrique, numérique… Une démonstration est rarement achevée parce qu'on peut toujours retoucher son style de rédaction (plus ou moins télégraphique), sa longueur (profondeur des détails), les outils utilisés (quelquefois radicalement différents) ou alors simplement l'usage des règles logiques. Certains s'amusent même à s'interdire l'usage d'une lettre, d'une méthode ou même de mots pour écrire une preuve.

Du point de vue pédagogique, une démonstration permet de prouver aux élèves que le professeur a raison, mais également qu'un autre professeur que lui aurait aussi raison, à condition d'accepter les prérequis et la méthode de la preuve. Elle sert aussi à montrer aux élèves la liberté scientifique dans l'acte de rédiger et d'expliquer.

Quelques méthodes de démonstration

En mathématiques, il existe plusieurs méthodes pour démontrer un théorème :

Par application directe du théorème

Si un théorème est sous la forme Si A alors B, s'il est vrai et si on montre que A est vraie alors B est vraie.

Ainsi pour démontrer que le triangle ABC est rectangle, avec AB=12, BC=13 et AC=5, on utilise le théorème réciproque de Pythagore :

Par contraposée

Pour démontrer que «Si A alors B» est vrai, il est fréquemment commode de démontrer que la contraposée est vraie

Par l'absurde

Pour montrer que A est vraie, on montre que si on suppose A est fausse on arrive alors à une contradiction.

Exemple :

A : Il existe une illimitété de nombres premiers

non A : Il existe un nombre fini de nombres premiers

On les note p_{1},p_{2} \dots p_n classés par ordre croissant Soit P=p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n+1. Il est plus grand que pn.

P n'est divisible ni par p1, ni par p_{2} \dots ni par pn

Or P est premier car tout nombre non premier admet au moins 1 diviseur premier.

Mais il n'y a pas de nombre premier plus grand que pn selon l'hypothèse. Par conséquent A est vraie.

Par analyse-synthèse

On suppose le problème résolu, on en déduit les conditions nécessaires (phase d'analyse). On utilise ces conditions nécessaires pour résoudre le problème (phase de synthèse).

Exemple :

Toute fonction définie sur ℝ est la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire

Analyse

Si f=p+i avec p fonction paire et i fonction impaire

Quel que soit x ∈ ℝ, f (x) =p (x) +i (x) et f (−x) =p (x) −i (x)
p (x) = (f (x) +f (−x) ) /2 et
i (x) = (f (x) −f (−x) ) /2

Synthèse

On considère les fonctions i et p définies par les formules précédentes

f=p+i
Quel que soit x ∈ ℝ, p (−x) =p (x) par conséquent p est paire
Quel que soit x ∈ ℝ, i (−x) =−i (x) par conséquent i est impaire

Par l'exemple

Pour montrer que pour un x, P (x) est vraie, on trouve une valeur a telle que P (a) soit vraie : on trouve un exemple.

Pour montrer que pour un x, P (x) est fausse on montre qu'il existe x tel que non P (x) est vraie. On trouve a tel que non P (a) soit vraie : un contre-exemple.

Attention

Pour montrer que pour tout x, P (x) est vraie, un exemple ne suffit pas bien au contraire.

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