Démonstration

En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou auparavant démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un ensemble de règles de déduction. La proposition une fois démontrée peut ensuite être elle-même utilisée dans d'autres démonstrations. En ce cas, elle on l'appelle le plus souvent lemme. Dans toute situation où les propositions initiales sont vraies, la proposition démontrée devrait être vraie ; on ne pourrait la remettre en cause qu'en remettant en cause une ou plusieurs des propositions initiales ou le dispositif de règles de déduction lui-même.

Cette description peut s'avérer parfaite. Il arrive qu'une démonstration s'appuie partiellement sur l'intuition, géométrique par exemple, et par conséquent que l'ensemble des propriétés admises, les axiomes, ne soient pas explicites. Les démonstrations de géométrie qu'on peut trouver dans les Éléments d'Euclide sont par exemple reconnues toujours actuellement comme des modèles de rigueur, tandis qu'Euclide s'appuie en partie sur des axiomes implicites, comme l'a montré David Hilbert dans ses «fondements de la géométrie». D'autre part, les démonstrations des mathématiciens ne sont pas formelles et une démonstration peut être reconnue comme correcte dans les grandes lignes, tandis que des points resteraient à expliciter en toute rigueur, ou alors que d'autres sont entachés d'erreurs «mineures». On rédige une démonstration pour être lue et convaincre les lecteurs, et le niveau de détails indispensable n'est pas le même suivant les connaissances de ceux-ci. Cependant avec l'avènement des ordinateurs et des systèmes d'aide à la démonstration, des mathématiciens contemporains rédigent des démonstrations qui sont amenées à être vérifiées par des programmes.

Hors du champ des mathématiques, en droit par exemple, une démonstration intervient comme un complément de preuves, c'est une suite d'arguments énoncés en vue d'emporter l'adhésion de l'auditeur ou du lecteur.

Typologie des démonstrations

Les démonstrations mathématiques passent par diverses étapes en suivant une certaine ligne de déduction. Certains grands types de démonstrations ont reçu des appellations spécifiques.

• Les mathématiciens parlent assez informellement de démonstration directe, pour une démonstration d'un énoncé n'utilisant que les constituants de ce dernier, de la façon la plus simple envisageable, sans les recomposer, et sans le déduire de théorèmes plus forts. Dans certains contextes, on considère généralement qu'une démonstration par l'absurde ou par contraposition est indirecte.
• Une preuve par l'exemple (resp. la recherche de contre-exemple) sert à valider une propriété existentielle (resp. invalider une propriété universelle), sous certaines conditions, une proposition universelle peut être prouvée par un ou plusieurs exemples bien choisis.
• Une démonstration par l'absurde consiste à montrer qu'en affirmant la négation de l'assertion à démontrer on aboutit à une contradiction, typiquement une proposition et sa négation.
• Une démonstration est constructive si elle inclut une construction ou un mode de recherche effectif des objets dont elle établit l'existence.
• Une démonstration par récurrence s'appuie sur une méthode de déduction spécifique (dite récurrence) pour affirmer qu'une assertion est démontrable pour l'ensemble des entiers naturels : elle consiste à démontrer l'assertion pour 0 (ou 1), puis à démontrer que de l'assertion pour l'entier n, on peut déduire l'assertion pour l'entier n+1. Il existe des variantes plus générales pour les éléments d'un certain ensemble bien ordonné ou pour des structures qui sont construites d'une façon qui étend celle avec laquelle les entiers naturels sont décrits.
• Une démonstration probabiliste utilise la théorie des probabilités pour démontrer l'existence certaine d'un objet. Elle ne doit pas être confondue avec l'assertion «ce théorème est probablement vrai».

Incomplétude et indépendance

Il est quelquefois envisageable de démontrer^[1] qu'une certaine assertion ne peut pas être démontrée dans un certain dispositif axiomatique dont on aurait néenmoins attendu qu'il puisse formaliser «toutes» les mathématiques ; ainsi l'axiome du choix ne peut pas être démontré dans la théorie des ensembles de Zermelo-Frænkel, non plus que sa négation. De façon analogue, ni l'hypothèse du continu ni sa négation ne sont démontrables dans la théorie de Zermelo-Frænkel avec axiome du choix. On dit que ces assertions sont indépendantes de ce dispositif d'axiomes : il est par exemple envisageable d'ajouter autant l'axiome du choix que sa négation à la théorie des ensembles, la théorie restera cohérente (en supposant que la théorie des ensembles le soit). En réalité, comme l'énonce le théorème d'incomplétude de Gödel, dans toute théorie axiomatique «raisonnable»^[2] qui contient les nombres naturels, il existe des propositions qui ne peuvent pas être démontrées tandis qu'elles sont en fait «vraies» ; plus exactement l'ensemble des instances de la proposition par chacun des entiers naturels sont démontrables.

Théorie de la démonstration

La logique mathématique a développé une branche qui est consacrée à l'étude des démonstrations et des dispositifs déductifs et se nomme pour cela la théorie de la démonstration.

Outils d'aide à la démonstration

L'informatique a construit des outils d'aide à la démonstration qui sont de deux ordres :

• les assistants d'aide à la démonstration sont des outils logiciels qui aident les utilisateurs à construire leurs démonstrations,
• les logiciels de démonstration automatique de théorèmes réalisent automatiquement les démonstrations des propositions qu'on leur soumet.

Notes et références de l'article

Voir aussi

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