Demi-plan

En géométrie plane, une droite partage un plan en deux demi-plans. Cette droite se nomme alors la frontière des demi-plans.



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  • La méthode graphique consiste à construire les demi - plans correspondant à chaque inéquation du dispositif. Chaque demi-plan est délimité par une droite.... (source : homeomath.imingo)
La droite d partage le plan en deux demi-plans, l'un contenant M et N l'autre contenant P.

En géométrie plane, une droite partage un plan en deux demi-plans. Cette droite se nomme alors la frontière des demi-plans.

Deux points M et P non localisés sur la droite (d) sont localisés dans le même demi-plan de frontière (d) si et uniquement si le segment [MN] ne rencontre pas la droite (d). Et les points sont localisés dans des demi-plans différents si et uniquement si le segment [MN] rencontre la droite (d) [1].

Le demi-plan est un exemple simple d'ensemble convexe.

Intersections et unions

L'intersection de deux demi-plans dont les frontières sont des droites secantes en O donne un secteur angulaire saillant de sommet O. La réunion de ces mêmes demi-plans donne un secteur angulaire rentrant. Si les droites sont parallèles, qu'aucun des demi-plans n'est inclus dans l'autre, que l'intersection n'est pas vide, l'intersection des demi-plans donne une bande.

secteur angulaire saillant, intersection de deux demi-plans.
Secteur angulaire rentant, union de deux demi-plans.
Bande, intersection de deux demi-plans de frontières parallèles.

Convexité

Comme ensemble convexe simple, le demi-plan sert à caractériser des ensembles convexes plans.

Un polygone est convexe si et uniquement si, quel que soit le côté qu'on choisit, le polygone est entièrement inclus dans un demi-plan dont la frontière porte ce côté. La portion de plan qu'il délimite est alors obtenue comme intersection des demi-plans dont les frontières sont les droites supportant ses côtés.

Enfin, un théorème de séparation permet d'affirmer que deux ensembles convexes disjoints d'un plan peuvent être scindés par une droite qui place chacun des deux ensembles dans des demi-plans différents.

Caractérisation par une inégalité

Quand le plan est pourvu d'un repère ou d'une distance, un demi-plan est caractérisé par une inéquation lié à l'équation de la droite (d). Une inégalité large correspond à un demi-plan fermé (contenant sa frontière) et une inégalité stricte à un demi-plan ouvert (ne contenant pas sa frontière).

Médiatrice

La médiatrice d'un segment [AB] où A et B sont deux points différents est la totalité des points à égale distance de A et B, c'est par conséquent la totalité des points M tels que MA = MB. Cette médiatrice partage le plan en deux demi-plans, l'un contenant A et l'ensemble des points qui sont plus proches de A que de B, ensemble des points M tels que MA < MB et l'autre, contenant B, correspondant à l'ensemble des points M tels que MA > MB.

Coordonnées cartésiennes

Si la droite (d) a pour équation ax+by+c=0, les deux demi-plans ouverts ont pour inéquations ax + by + c < 0 et ax + by + c > 0 et les demi-plans fermés par ax + by + c ≤ 0 et ax + by + c ≥ 0. Cette caractérisation du demi-plan sert à démontrer aisément qu'un demi-plan est convexe, que le segment reliant deux points dans des demi-plans différents coupe la frontière et qu'une demi-droite d'origine un point de la frontière et passant par un point d'un demi-plan est entièrement incluse dans ce demi-plan[2].

Si la droite a pour équation y = mx+b, le demi-plan d'inéquation y < mx + p est appelé demi-plan sous la droite (d) et le demi-plan d'inéquation y > mx+p est nommé demi-plan au-dessus de la droite (d).

Plan euclidien orienté

Dans un plan euclidien orienté, si une droite est orientée par un vecteur u et passe par A, on distingue deux demi-plans, l'un localisé à droite de (d), ensemble des points P tels que l'angle (u, AP) soit de sinus négatif nommé demi-plan négatif, l'autre localisé à gauche de (d) ensemble des points P tels que l'angle (u, AP) soit de sinus positif nommé demi-plan positif[3].

En coordonnées polaires, si la droite ne passe pas par l'origine et si son équation polaire est

r\cos(\theta - \varphi_0)=r_0 (r;θ) sont les coordonnées polaires de M et (r_0;\varphi_0) sont les coordonnées polaires du projeté orthogonal de O sur (d).

alors le demi-plan ne contenant pas l'origine est caractérisé par l'inéquation

<img class= (1;α0) , le demi-plan positif vérifie

sin (θ − α0) > 0

Barycentre

Si A, B, et C sont trois points non alignés et si G est le barycentre du dispositif pondéré { (A, a), (B, b), C (c) }, la position de G comparé à la droite (AB) est déterminée par les signes comparés de c et a+b+c. Si c et a + b + c sont de même signe alors G est dans le demi-plan de frontière (AB) contenant C, si c et a+b+c sont de signes contraires, le point G est dans l'autre demi-plan.

Cette caractérisation sert à définir l'intérieur d'un triangle comme la totalité des barycentres des sommets affectés de poids de même signe.

Notes et références

  1. Voir, par exemple, Küstner, Hellwitch, Kästner, Petite encyclopédie des mathématiques, Édition Didier, 1980, ch 41, p 780, définition 2.
  2. Voir par exemple Dany-Jack Mercier, 'Demi-plan, convexité et Polynomes, IUFM de Guadeloupe, chap 2.
  3. Voir, par exemple, Küstner, Hellwitch, Kästner, Petite encyclopédie des mathématiques, Édition Didier, 1980, ch 13.2, p 313.

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