Cube

En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont l'ensemble des faces sont carrées. Les cubes font partie des solides les plus remarquables de l'espace.



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Cube
Cube

Type Polyèdre régulier
Faces Carré
Éléments :
 · Faces
 · Arêtes
 · Sommets
 · Caractéristique
 
6
12
8
2
Faces par sommet 3
Sommets par face 4
Isométries
Dual Octaèdre
Propriétés Deltaèdre régulier et convexe,
zonoèdre

En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont l'ensemble des faces sont carrées. Les cubes font partie des solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de Platon, l'unique ayant précisément 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Son autre nom est «hexaèdre régulier».

L'étymologie du terme cube est grecque ; cube provient de kubos, le dé.

Le terme de cube, appliqué à un nombre, sert à désigner la valeur obtenue en multipliant ce nombre par lui-même et en remultipliant le résultat par le nombre d'origine. Cette expression s'est vu consacrée durant la période où l'algèbre géométrique était omniprésente, le carré d'un nombre était vu comme la surface d'un carré de côté le nombre d'origine et le cube d'un nombre comme le volume d'un cube de côté le nombre d'origine. L'expression «a3» peut se lire «a au cube» et «a cube».

Le squelette du cube, la totalité de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe nommé graphe hexaédrique.

Géométrie

Article détaillé : Géométrie.
Cube svg int.svg

Le cube est un des cinq solides de Platon. Un cube appartient à la famille des prismes droits. Il possède 8 sommets et 12 arêtes. De plus :

Mais par définition ses arêtes sont toutes de longueur égale, disons a. Ses faces sont par conséquent des carrés, de même superficie, égale à a². De fait :

C'est l'expression de son volume qui a conduit à l'utilisation du mot cube en algèbre.

Autres définitions

Il existe d'autres définitions équivalentes du cube :

Groupe des isométries

Le cube fait partie des polyèdres offrant le plus de symétries :

Une isométrie du cube est entièrement définie par l'image d'un sommet et des trois arêtes issues de ce sommet (repère de l'espace). Ce sommet peut avoir pour image l'un quelconque des 8 sommets du cube. La première arête a alors 3 images envisageables, la seconde arête deux images uniquement et l'image de la dernière arête est alors déterminée. Ceci prouve que les isométries laissant le cube globalement invariant sont au nombre de 8 × 3 × 2 = 48. Ces isométries se partagent en 24 isométries positives et 24 isométries négatives. Les isométries positives possèdent toutes le point O comme invariant : on dénombre alors 23 rotations plus l'identité.

On retrouve alors les axes de rotations qui ont précédé :

mais aussi les 9 symétries comparé à un plan générées par les 9 rotations d'angle plat composées avec la symétrie de centre O.

Ce qui prouve que l'inventaire était bien exhaustif.

Ce groupe est le plus vaste de ceux des polyèdres réguliers qui peuvent paver l'espace. L'analyse associée se trouve dans l'article réseau (géométrie) .

Patrons

Il existe de nombreux patrons du cube, onze différents pour être précis, en voici des exemples :

Le cube et les autres polyèdres

Le dual du cube est l'octaèdre régulier. Ce qui explique que les deux solides possèdent le même groupe d'isométries.

Le cube s'inscrit dans un dodécaèdre régulier : les sommets du cube sont des sommets du dodécaèdre et les arêtes du cube sont constituées de segments joignant deux sommets non consécutifs dans une face pentagonale du dodécaèdre. Il y a ainsi cinq façon d'inscrire un cube dans un dodécaèdre régulier.

On peut aussi inscrire le cube dans un dodécaèdre rhombique. Les sommets du cube correspondent aux sommets d'ordre 3 du dodécaèdre rhombique et les arêtes du cube correspondent aux diagonales des losanges.

Fascination du cube

Le cube a joué un rôle important dans la géométrie et la cosmologie grecque. Platon, dans le Timée le classe comme le quatrième solide, le premier construit avec triangles isocèles rectangles

«Groupés par quatre avec leurs angles droits se rencontrant au centre, ces triangles isocèles forment un quadrangle. Six de ces quadrangles en s'accollant ont donné naissance à huit angles solides, composés chacun de trois angles plans droits et la figure obtenue est un cube (Le Timée 54c - 55 d)»

Comme chaque solide de Platon, le cube est associé à un élément. Comme élément le plus stable, il est associé à la terre.

Le cube a été l'objet d'un problème qui s'est révélé insoluble : la duplication du cube à la règle et au compas.

Dans la cosmologie de Kepler, le cube est associé à la planète Saturne.

On retrouve aussi le cube dans la symbolique franc-maçonne. Le cube y symbolise les progrès que doivent faire le compagnon pour passer de la pierre brute au solide parfait.

Le cube a fait l'objet d'une séquence de trois films canadiens. Nintendo a produit la console GameCube. Le rubik's cube est un casse tête dont la réflexion se base sur des associations de couleur. Comprendre sa solution fait appel aux groupe des permutations.

On retrouve un cube tronqué dans le tableau mélancolia de Dürer. L'atomium de Bruxelles est un cube. En effet, le cube est un des réseaux envisageables en cristallographie pour l'argent, l'or, le cuivre, le platine, le diamant, le sel.

Voir aussi

Lien externe


Solides géométriques
Les polyèdres
Les solides de Platon
Tétraèdre - Cube - Octaèdre - Icosaèdre - Dodécaèdre
Les solides d'Archimède
Tétraèdre tronqué - Cube tronqué - Octaèdre tronqué - Dodécaèdre tronqué - Icosaèdre tronqué - Cuboctaèdre - Cube adouci - Icosidodécaèdre - Dodécaèdre adouci - Petit rhombicuboctaèdre - Grand rhombicuboctaèdre - Petit rhombicosidodécaèdre - Grand rhombicosidodécaèdre
Les solides de Kepler-Poinsot
Petit dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre - Grand icosaèdre
Les solides de Catalan
Triakioctaèdre - Tétrakihexaèdre - Triakitétraèdre - Pentakidodécaèdre - Triaki-icosaèdre - Dodécaèdre rhombique - Icositétraèdre pentagonal - Triacontaèdre rhombique - Hexacontaèdre pentagonal - Icositétraèdre trapézoïdal - Hexakioctaèdre - Hexacontaèdre trapézoïdal - Hexaki icosaèdre
Les solides de Johnson
Les solides de révolution
Boule - Cylindre de révolution - Cône de révolution - Tore - Paraboloïde de révolution

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