Cornish Fischer

L'approximation de Cornish-Fischer sert à transformer le quantile, ou une réalisation, d'une loi normale en une réalisation d'une loi dont l'asymétrie et le Kurtosis en excès ne sont pas nul.

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Probabilités

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L'approximation de Cornish-Fischer sert à transformer le quantile, ou une réalisation, d'une loi normale en une réalisation d'une loi dont l'asymétrie et le Kurtosis en excès ne sont pas nul.

On approche la réalisation Z de la loi voulue telle que :

F (Z) = N (z c)

Où :

F est la fonction de répartition de la loi Z
N est la fonction de répartition de la loi normale
zc est un quantile ou une réalisation de la loi normale

On a :

$Z = z_c + (z_cˆ2-1)\frac{S}{6} + (z_cˆ3-3z_c)\frac{K}{24} - (2z_cˆ3 - 5z_c)\frac{Sˆ2}{36}$

Où :

S = Skewness de la loi reconnue (asymetrie)
K = Kurtosis en excès de la loi reconnue

Pour que cette transformation marche elle doit être bijective. Une condition indispensable et suffisante pour cela est que la dérivée $\frac{dZ}{dz_c}$ ne s'annule pas, ce qui se traduit par

$\frac{Sˆ2}{9} -4\left(\frac{K}{8}-\frac{Sˆ2}{6}\right)\left(1-\frac{K}{8}+\frac{5Sˆ2}{36}\right) \leq 0$

En pratique en finance, K et S sont petits et K est positif (variables leptokurtiques) ; la condition est par conséquent respectée.

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