Coordonnées cartésiennes / Repère cartésien

Un système de coordonnées cartésiennes sert à déterminer la position d'un point sur une droite, dans un plan ou dans l'espace à condition d'avoir défini un repère cartésien.



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Système de coordonnées

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  • ... coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) dans le repère (O, er, eθ, eϕ) et x et y 2 des 3 coordonnées cartésienne dans le repère (0, ex, ey, ez).... (source : forums.futura-sciences)

Un système de coordonnées cartésiennes sert à déterminer la position d'un point sur une droite, dans un plan ou dans l'espace à condition d'avoir défini un repère cartésien. Il permet aussi de caractériser un vecteur. La notion de coordonnées cartésiennes peut aussi se généraliser à un espace de dimension n. Le mot cartésien vient du mathématicien et philosophe français René Descartes. Il existe d'autres systèmes de coordonnées servant à repérer un point dans le plan ou dans l'espace

Abscisse sur une droite affine

Sur une droite affine D, un repère est la donnée de :

Repere droite.png

Dans ce cas, l'abscisse du point M est l'unique réel r tel que : \vec{OM}=r\cdot v. Il y a par conséquent une correspondance entre les points d'une droite affine et la totalité des réels.

Remarque : Il existe des dispositifs de graduation non régulière mais le repère n'est plus nommé cartésien (voir échelle logarithmique).

Coordonnées cartésiennes dans le plan

Dans un plan affine, les coordonnées cartésiennes sont probablement la manière la plus naturelle de définir un système de coordonnées. Un repère (cartésien) du plan affine P est la donnée conjointe de :

Les axes de coordonnées sont les droites affines (Ox)=(O,\mathbf{i}) et (Oy)=(O,\mathbf{j}). Ces droites admettent des graduations respectives apportées par O et les vecteurs i et j.

représentation d'un repère dans un plan

Par un point M, on est en droit de tracer :

Le couple de réels (x, y) est seulement déterminé par le point M, on l'appelle les coordonnées de M dans le repère (O, i, j)  ;

Réciproquement, à tout couple (x, y), correspond un unique point M de coordonnées d'abscisse x et d'ordonnée y. C'est le point d'intersection :

Cette construction peut être interprétée comme la mise en place d'un parallélogramme de sommets O et M.

En termes vectoriels, on obtient l'identité suivante :

\overrightarrow{OM} = x\vec{i}+y\vec{j}

Ce qui sert à faire une correspondance entre le calcul sur des coordonnées et le calcul vectoriel.

Cas du repère orthonormé

Article détaillé : repère orthonormé.

Les repères orthonormés n'ont de sens que dans les plans affines euclidiens. Dans un plan affine euclidien, un repère (O, i, j) est dit orthonormé quand les vecteurs i et j sont d'une part de longueur 1 (de norme 1) et d'autre part orthogonaux, c'est-à-dire que le produit scalaire des deux vecteurs est nul.

C'est à dire, les axes de coordonnées sont deux droites affines orthogonales avec le même dispositif de graduation.

Repere orthonorme plan.png

Dans ce cas, on peut calculer des distances et des orthogonalités en utilisant le théorème de Pythagore. Voici un formulaire :

OM = \sqrt{xˆ2 + yˆ2}
Dans le dessin ci-à droite, on a positionné dans un repère orthonormé les points A de coordonnées (1, 1) et B de coordonnées (4, 5). Le calcul de la distance AB est alors :
 AB = \sqrt{ ( 4 - 1 )ˆ2 + ( 5 - 1 )ˆ2 } = 5

Le calcul des distances et des angles étant fréquemment un objectif de la géométrie plane euclidienne, on privilégie spécifiquement les repères orthonormés. À tel point que certains ouvrages réservent le terme de coordonnées cartésiennes à ce type de repère, les autres coordonnées étant nommées coordonnées obliques.

Coordonnées cartésiennes dans l'espace

Le principe de construction sera le même. Dans un espace affine E de dimension 3, un repère (cartésien) est la donnée conjointe de :

Les axes de coordonnées sont les droites affines concourantes (Ox) = (O, i), (Oy) = (O, j) et (Oz) = (O, k).

Repere espace.png

Pour un point M, on est en droit de tracer :

Le triplet de réels (x, y, z) est seulement déterminé par la position du point M. Il se nomme les coordonnées (cartésiennes) de M dans le repère (O, i, j, k)  :

Réciproquement, à tout triplet de réels (x, y, z) correspond un unique point M d'abscisse x, d'ordonnée y et de cote z. Ce point s'obtient comme l'intersection :

Ces trois plans mais aussi les trois plans de bases (Oxy), (Oxz) et (Oyz) dessinent un parallélépipède.

Il y a correspondance biunivoque entre tout point M et tout triplet de réels nommés alors dispositif de coordonnées de M.

De même que dans le plan, ces coordonnées se réinterprètent via l'écriture vectorielle :

\overrightarrow{OM} = x\vec{i}+y\vec{j} + z\vec{k}

Repères orthonormés

Article détaillé : repère orthonormé.
Repere orthonorme espace.png

Dans un espace affine euclidien de dimension 3, un repère (O, i, j, k) ) est dit orthonormé quand les vecteurs i, j, et k sont unitaires et deux à deux orthogonaux. Cette deuxième condition s'écrit :

\langle\mathbf{i}\mid\mathbf{j}\rangle=0  ;  \langle\mathbf{j}\mid\mathbf{k}\rangle=0  ;  \langle\mathbf{k}\mid\mathbf{i}\rangle=0

Comme dans le plan, il sera indispensable de prendre un repère orthonormé si on désire travailler sur des distances et des angles. La distance s'écrira alors :

OM = \sqrt{xˆ2+yˆ2+zˆ2}

Coordonnées cartésiennes en dimension n

Les observations précédentes permettent de remarquer un lien entre couple ou triplet de réels et vecteurs du plan ou de l'espace. Ce lien se généralise à tout espace vectoriel ou affine de dimension finie sur un corps K.

Si (\vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots,\vec{e_n}) est une base d'un espace vectoriel sur un corps K alors, pour tout vecteur \vec{v}, il existe un unique n-uplet (x_1, x_2, \dots,x_n) \, élément de Kn tel que :

\vec{v} = x_1\vec{e_1}+ x_2 \vec{e_2}+\dots +x_n\vec{e_n} \,.

Ce n-uplet est nommé dispositif de cordonnées cartésiennes du vecteur \vec{v} dans la base (\vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots,\vec{e_n}). La correspondance entre chaque vecteur et chaque n-uplet sert à construire un isomorphisme d'espace vectoriel entre V et Kn.

Pour travailler sur des dispositifs de coordonnées de points, il suffit d'ajouter à la base précédente un point O nommé origine. Les coordonnées du point M étant celles du vecteur \overrightarrow{OM}.

Enfin, pour travailler sur des distances, il sera indispensable de construire une base orthonormale (dans laquelle l'ensemble des vecteurs sont de norme 1 et chaque vecteur est orthogonal à l'ensemble des autres). La distance OM s'exprimera alors sous la forme suivante :

 OM = \sqrt{x_1ˆ2 + x_2ˆ2 + \dots + x_nˆ2} \,

Cinématique

Les quantités cinématiques, position, vitesse et accélération sont données par :

\begin{align}
\overrightarrow {OM} &=x\overrightarrow{u_x} + y\overrightarrow{u_y} + z\overrightarrow{u_z}\\
\overrightarrow \dot{OM} &=\dot x\overrightarrow{u_x} + \dot y\overrightarrow{u_y} + \dot z\overrightarrow{u_z}\\
\overrightarrow \ddot{OM} &=\ddot x\overrightarrow{u_x} + \ddot y\overrightarrow{u_y} + \ddot z\overrightarrow{u_z}\\
\end{align}

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