Convergence de variables aléatoires

Dans la théorie des probabilités, il existe différentes notions de convergence de variables aléatoires. La convergence de suites de variables aléatoires est un concept important de la théorie des probabilités utilisé surtout en statistique...



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Dans la théorie des probabilités, il existe différentes notions de convergence de variables aléatoires. La convergence (dans un des sens décrits ci-dessous) de suites de variables aléatoires est un concept important de la théorie des probabilités utilisé surtout en statistique et dans l'étude des processus stochastiques. A titre d'exemple, la moyenne de n variables aléatoires indépendantes et semblablement distribuées converge presque sûrement vers l'espérance commune de ces variables aléatoires. Ce résultat est connu sous le nom de loi forte des grands nombres.


Dans cet article, on suppose que (Xn) est une suite de variables aléatoires réelles, que X est une variable aléatoire réelle, et que toutes ces variables sont définies sur un même espace probabilisé (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}).

Convergence en loi

Soient F1, F2, ... la suite des fonctions de répartition associées aux variables aléatoires réelles X1, X2, ..., et F la fonction de répartition de la variable aléatoire réelle X. C'est à dire, Fn est définie par Fn (x) =P (Xnx), et F par F (x) =P (Xx).

La suite Xn converge vers X en loi, ou en distribution, si

\lim_{n\rightarrow\infty} F_n(a) = F(a), pour tout réel aF est continue.

Puisque F (a) = P (X ≤ a), cela veut dire que la probabilité que X appartienne à un certain intervalle est particulièrement comparable à la probabilité que Xn soit dans cet intervalle pour n suffisamment grand. La convergence en loi est fréquemment notée en ajoutant la lettre \mathcal L (ou \mathcal D pour distribution) au-dessus de la flèche de convergence :

X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X.

La convergence en loi est la forme la plus faible au sens où, généralement, elle n'implique pas les autres formes de convergence définies ci-dessous, tandis que ces autres formes de convergence impliquent la convergence en loi. C'est ce type de convergence qui est utilisé dans le théorème de la limite centrale.

De manière équivalente, la suite (Xn) converge en loi vers X si et uniquement si pour toute fonction continue bornée

\lim_{n\rightarrow\infty} E[f(X_n)]=E [f(X)].


Théorème de continuité de Paul Lévy — Soit la fonction caractéristique de et celle de. Alors

\left\{\forall t\in\mathbb{R} : \varphi_n(t)\to\varphi(t)\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{ X_n \xrightarrow{\mathcal D} X\right\}

C'est à dire, (Xn) converge en loi vers X ssi la fonction caractéristique de la variable aléatoire réelle Xn converge simplement vers la fonction caractéristique de la variable aléatoire réelle X.

exemple : Théorème de la limite centrale :

La moyenne d'une suite de variables aléatoires centrées, indépendantes et de même loi, une fois renormalisée par converge en loi vers la loi normale

 \sqrt{n}\bar X_n\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0, \sigmaˆ2).
exemple : convergence de la loi de Student :

La loi de Student de paramètre converge, quand tend vers vers la loi de Gauss :

 \mathrm{t}(k)\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1).

Dans ce cas, on peut aussi utiliser le lemme de Scheffé, qui est un critère de convergence d'une suite de variables aléatoires à densité vers une variable aléatoire à densité.

Exemple :

La suite[1] \mathcal{N}\left(0, \frac{1}{n}\right) converge en loi vers une variable aléatoire X0 dite dégénérée, qui prend une seule valeur (0) avec probabilité 1 (on parle quelquefois de masse de Dirac en 0, notée)  :

\mathbb{P}(X_0\le x)=\delta_0\left(]-\infty,x]\right)=\begin{cases}0 & \text{ si } x< 0,\\1 &\text{ si } x \geq 0nd{cases}

Convergence en probabilité

Définition —  On dit que Xn converge vers X en probabilité si,

<img class=, ou encore  \operatorname{plim} X_n = X

La convergence en probabilité est utilisée dans la loi faible des grands nombres.

La convergence en probabilité implique la convergence en loi. On peut par conséquent énoncer le théorème suivant :

Théorème —  Xn converge vers X en probabilité \Rightarrow Xn converge vers X en loi.

Il existe des conditions suffisantes de convergence en probabilité vers une constante[2], portant sur l'espérance et la variance des termes de la suite :

Théorème —  \lim_{n \to \infty} \operatorname{E}[X_n]=c\quad \mathbf{ et } \quad \lim_{n \to \infty}\operatorname{Var}[X_n]= 0 \Rightarrow X_n \xrightarrow{p} c.