Colinéarité

En algèbre linéaire, deux vecteurs u et v d'un espace vectoriel E sont colinéaires s'il existe un scalaire k tel que u = kv ou v = ku.



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Géométrie affine - Espace vectoriel

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  • Deux vecteurs colinéaires sont par conséquent représentés, sur une figure, ... Si elles sont de même sens, le cœfficient de colinéarité est positif..... Dans l'espace, une droite est caractérisée par l'intersection de deux plans, qui bien entendu... (source : bigpollux.free)

En algèbre linéaire, deux vecteurs u et v d'un espace vectoriel E sont colinéaires s'il existe un scalaire k tel que u=kv ou v=ku. Deux vecteurs quelconques d'une droite vectorielle sont colinéaires. Lorsqu'elle porte sur un couple de vecteurs, la colinéarité est le contraire de l'indépendance linéaire : deux vecteurs u et v sont colinéaires si le couple (u, v) est non libre.

Étymologiquement, colinéaire veut dire sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants localisés sur une même droite.

La colinéarité est un outil important en géométrie dans l'enseignement secondaire : un couple de points (A, B) du plan ou de l'espace définit un vecteur géométrique \overrightarrow{AB} ; si A et B (resp A'et B') sont des points non confondus, les vecteurs \overrightarrow{AB} et  \overrightarrow{A'B'} sont colinéaires si et uniquement si les droites (AB) et (A'B') sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.

Exemples

En toute dimension, si u est le vecteur nul, alors u et v sont colinéaires pour tout v dans'E, car u=0v.

Si u est un vecteur non nul de E, la totalité des vecteurs colinéaires à u est la droite Ku.

Dans un espace vectoriel sur le corps F2, deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et uniquement s'ils sont égaux.

Géométrie affine

En géométrie affine, deux vecteurs sont colinéaires si et uniquement s'il existe deux représentants de ces vecteurs localisés sur une même droite i. e. il existe trois points A, B, C alignés tels que

\overrightarrow{AB} = \vec u et \overrightarrow{AC} = \vec v

La colinéarité est une notion importante en géométrie affine car elle sert à caractériser

Relation d'équivalence

Sur la totalité des vecteurs non nuls, la relation de colinéarité est

Ce qui sert à dire que (sur la totalité des vecteurs non nuls) la relation de colinéarité est une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence forment l'espace projectif associé à l'espace vectoriel

Calcul en coordonnées

Soient deux vecteurs u et v dans le plan R2, dont les coordonnées sont u= (u1, u2) et v= (v1, v2). S'ils sont tous deux non nuls, la colinéarité des deux vecteurs u et v se traduit par une relation de proportionnalité entre les couples (u1, u2) et (v1, v2). La règle du produit en croix implique : u et v sont colinéaires si et uniquement si u1v2=v1u2.

Cette équivalence peut se généraliser à la dimension supérieure. Soit u et v deux vecteurs, dont les coordonnées dans une base fixée (ou dans un repère fixé) sont

u=(u_1,\dots,u_n)
v=(v_1,\dots,v_n).

Alors u et v sont colinéaires ssi uivj=ujvi pour tous indices i et j.

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