Chiffre

Bien qu'appelés couramment "chiffres arabes", les Indiens connaissaient et utilisaient déjà un dispositif décimal proche de celui que nous connaissons actuellement.



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Numération

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Bien qu'appelés couramment "chiffres arabes", les Indiens connaissaient et utilisaient déjà un dispositif décimal proche de celui que nous connaissons actuellement. Ce n'est que énormément plus tard, suite à conquêtes en Asie, que les mathématiciens musulmans découvrirent ce dispositif. De même, le concept du zéro, comme élément neutre de l'addition et élément absorbant de la multiplication, était déjà utilisé par la pensée mathématique indienne.

Histoire, étymologie et définition

Les chiffres de 1 à 9 ont été découverts en Inde. Ils apparaissent dans des inscriptions de Nana Ghât au 3e siècle av. J. -C. La numération de position avec un zéro (un simple point à l'origine), a été développée au cours du 5e siècle. Dans un traité de cosmologie en sanscrit de 458, on voit naitre le nombre 14 236 713 écrit en toute lettres. On y trouve aussi le mot “sunya” (le vide), qui représente le zéro. C'est à ce jour le document le plus ancien faisant référence à cette numération.

Au Xe siècle, le moine français Gerbert d'Aurillac apprit la nouvelle numération et , grâce aux chaires qu'il occupait dans les établissement religieux d'Europe, put introduire le nouveau dispositif en Occident. En 999, il fut élu pape sous le nom de Sylvestre II, ce qui lui conféra l'autorité indispensable pour implanter la numération indo-arabe.

Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter des nombres. Le mot «chiffre» vient de l'arabe sifr (????????? ʾaṣ-ṣifr), utilisé pour «zéro» et signifiant «le vide», le "rien"[1].

Les chiffres arabes font partie des écritures de type logographique. C'est-à-dire le symbole «1» se prononce de façon différente dans chaque langue, mais représente le même élément abstrait et reste par conséquent compréhensible sous sa forme écrite.

Dans un dispositif de numération donné, si la base est un nombre entier, le nombre de chiffres requis est toujours égal à la valeur absolue de la base.

Il arrive quelquefois qu'on confonde chiffre et nombre. Pour bien comprendre la différence entre les deux, on peut faire l'ressemblance avec l'écriture d'une langue en affirmant que les chiffres sont des lettres et que les nombres sont des mots. Ainsi, 13 (treize) est un nombre qui s'écrit avec les chiffres «1» et «3». Comme un mot peut être constitué d'une seule lettre, tel que le mot «a» (le verbe «avoir» conjugué à la troisième personne de l'indicatif présent), un chiffre est aussi un nombre (le nombre 4 (quatre) s'écrit avec uniquement le chiffre «4»).

En système décimal, les dix chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9

Numérations selon les cultures
Numération arabo-indienne
mongole
thaï
Numérations à l'origine chinoise
chinoise
japonaise
à bâtons
suzhou
Numérations alphabétiques
hébraïque
grecque
tchouvache
Autres dispositifs :
Notations positionnelles par base
Décimal (10)


Vue d'ensemble

Dans un dispositif numérique de base, un nombre s'écrit comme une séquence de chiffres qui peut être de différentes longueurs. Chaque position dans la séquence a une valeur, tout comme chaque chiffre. La valeur totale du chiffre est calculée en multipliant chaque chiffre dans la séquence par la valeur sa position, et en additionnant les résultats.

A titre d'exemple, dans le nombre 153, le chiffre 3 occupe la première position, qui a pour valeur 1. Le chiffre 5 est en deuxième place, qui a pour valeur 101 = 10 (car nous sommes en base 10). Et le chiffre 1 occupe la troisième position, qui a pour valeur 102 = 100.

153 vaut donc

3 * 1 + 5 * 10 + 1 * 100 = 3 + 50 + 100 = 153

Valeurs numériques

Chaque chiffre dans un dispositif de numération représente un nombre entier. A titre d'exemple, dans le système de numération indo-arabe, le chiffre 1 représente le nombre un, et dans le dispositif hexadécimal, le chiffre A représente le nombre dix. Un dispositif de numération utilisant la notation positionnelle doit avoir un chiffre qui représente chaque entier de zéro jusqu'à la base du dispositif de numération, celle-ci étant exclue. A titre d'exemple, en base 10, le nombre 10 n'est pas un chiffre.

Mathématiques

En mathématiques, on utilise généralement les dix chiffres arabo-indiens, dits «arabes», pour représenter les nombres, comme les entiers naturels ou les nombres réels. Pour une base n, on utilise habituellement n chiffres. Si n est inférieur à dix, on utilise les n premiers chiffres, à partir de 0. Si n est strictement supérieur à 10, on utilise les chiffres de 0 à 9, et on poursuit le plus souvent avec les n-10 lettres de l'alphabet latin à partir de A.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Le dispositif binaire est fréquemment utilisé pour représenter des valeurs telles que «vrai» et «faux», «tout» et «rien», «marche» et «arrêt». Il convient surtout pour représenter le fonctionnement de l'électronique numérique utilisée dans les ordinateurs, d'où son usage en informatique.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
et valent respectivement, dans le dispositif décimal, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Cependant, il existe aussi des dispositifs balancés, employant des chiffres signés.

Il est adapté pour représenter les booléens dont les valeurs sont «vrai», «faux» et «indéterminé», et est pratique pour l'informatique, car il évite l'ajout d'un chiffre supplémentaire pour indiquer le signe d'un nombre. Dans un tel dispositif, les nombres positifs et négatifs bénéficient de la même représentation.

Musique

En musique, les chiffres servent au chiffrage de la mesure. Ils composent le nombre indicateur, qui indique la mesure. C'est la fraction positionnée au début d'un morceau dans une partition musicale. Son numérateur indique le nombre de temps de la mesure, et son dénominateur, la valeur de la note. A titre d'exemple, 2/4 veut dire «une mesure à deux noires» ; 3/2, «une mesure à trois blanches» ; 6/8, «une mesure à six croches», etc.

On parle aussi de chiffrage. Il y a deux possibilités :

  1. Une note avec un chiffre (ou deux selon les règles du chiffrage) écrit en dessous, donne l'accord qui doit être construit à partir de cette note. Cela se nomme une basse chiffrée. Ce sont fréquemment les clavecinistes et les organistes qui utilisent ce dispositif dans la musique baroque. Les élèves qui apprennent l'harmonie, se servent aussi de basses chiffrées pour apprendre à composer un texte musical à partir de ces données, et selon certaines règles particulièrement précises.
    Ainsi, un «5» indique un accord de quinte. Un «7» indique un accord de septième. Un «6» au-dessus d'un «4» indique un accord de quarte et sixte. Un «7» barré d'une barre oblique, indique une septième diminuée. Seule la tierce n'est pas représentée par un «3» car elle est sous-entendue.
  2. En analyse musicale, on chiffre les accords pour favoriser la construction d'une œuvre.

Ce dispositif s'apprend en cours de solfège, désormais rebaptisé formation musicale.

Les chiffres servent aussi à doigter les notes d'une partition, c'est-à-dire que le chiffre positionné au-dessus d'une note indique le doigt utilisé pour réaliser la note. Ainsi, au violon le «1» représente l'index, le «2» le majeur, le «3» l'annulaire et le «4» l'auriculaire. Au piano, le «1» représente le pouce, le «2» l'index, ainsi de suite.

Annexes

Blocs de caractères Unicode contenant des chiffres ou nombres

Notes et références

  1. Étymologie donnée par le Robert des collèges.

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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