Cercle circonscrit

En géométrie, un cercle circonscrit à un polygone est un cercle passant par l'ensemble des sommets du polygone. Le polygone est alors dit inscrit dans le cercle : on parle de polygone inscriptible.

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Cercle et sphère - Polygone

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Les cercles inscrits et circonscrits sont par conséquent concentriques (= même centre). Un triangle isocèle a deux côtés égaux mais aussi deux angles.... (source : mathsgeo)

Cercles circonscrits à des triangles

En géométrie, un cercle circonscrit à un polygone est un cercle passant par l'ensemble des sommets du polygone. Le polygone est alors dit inscrit dans le cercle : on parle de polygone inscriptible. Les sommets sont alors cocycliques, localisés sur un même cercle. Ce cercle est unique et son centre est le point d'intersection des médiatrices des côtés.

De manière plus générale, on parle de cercle circonscrit à une surface bornée dans le cas d'un cercle de plus petit rayon envisageable contenant la surface.

Cas spécifiques

Triangle

Tout triangle est inscriptible, c'est-à-dire qu'il possède un cercle circonscrit.

Le centre du cercle circonscrit est donné par l'intersection des trois médiatrices de ce triangle.

Rayon du cercle circonscrit

On considère un triangle quelconque ABC, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

a = BC et α = angle constitué par [AB] et [AC] ;
b = AC et β = angle constitué par [BA] et [BC] ;
c = AB et γ = angle constitué par [CA] et [CB].

R est le rayon du cercle circonscrit.

Alors, selon la loi des sinus on a :

$\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R$ .

Ce qui sert à déterminer le rayon du cercle circonscrit :

$R = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{BC}{2\sin \widehat{BAC}}$ .

Triangle rectangle

Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a la particularité d'admettre pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle rectangle. Le centre du cercle circonscrit se trouve par conséquent au milieu de l'hypoténuse. Son rayon vaut :

$R = {\text{hypot} \acute \text{e} \text{nuse} \over 2} = {\sqrt{\text{c} \hat \text{ot} \acute \text{e} \ \text{oppos} \acute \text{e}ˆ2 + \text{c} \hat \text{ot} \acute \text{e} \ \text{adjacent}ˆ2} \over 2}\,$

On note aussi que tout triangle inscrit dans un cercle et dont le plus long côté est un diamètre de ce cercle est un triangle rectangle, selon le théorème de Thalès.

Triangle tangentiel

Pour un triangle ABC, de cercle circonscrit (c), les tangentes à (c) en A, B, C forment un triangle T₁T₂T₃ dit tangentiel de ABC.

Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel.
Elles sont concourantes et leur point de concours est le point de Lemoine.

Voir aussi

Liste des éléments remarquables d'un triangle

Quadrilatère

Figure du théorème de Ptolémée.

Un quadrilatère est inscriptible si les quatre sommets sont cocycliques.

Un quadrilatère est inscriptible si, et uniquement si, deux angles opposés sont égaux ou supplémentaires :

un quadrilatère croisé est inscriptible si, et uniquement si, deux angles opposés sont égaux.
un quadrilatère convexe est inscriptible si, et uniquement si, deux angles opposés sont supplémentaires.

Théorème de Ptolémée : un quadrilatère convexe est inscriptible si, et uniquement si, le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés

Rectangle

Tout rectangle (et par conséquent tout carré) possède un cercle circonscrit dont le centre se trouve à l'intersection de ses diagonales, et dont le rayon vaut, comme pour le triangle rectangle :

$R = {\sqrt{\text{Longueur}ˆ2+\text{largeur}ˆ2} \over 2}\,$

Pour le cas du carré, Longueur = largeur donne :

$R = {\sqrt{\text{Longueur}ˆ2+\text{Longueur}ˆ2} \over 2} = \text{Longueur}\cdot {\sqrt{2} \over 2}\,$

Cette propriété dérive de celle du triangle, par symétrie.

Losange

Un losange qui n'est pas un carré ne possède pas de cercle circonscrit.

Voir aussi

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