Carré parfait

En mathématiques, un entier n est un carré parfait s'il existe un entier k tel que n = k 2 ; en d'autres termes, un carré parfait est le carré d'un entier.



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Arithmétique - Nombre figuré

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En mathématiques, un entier n est un carré parfait (un carré s'il n'y a pas ambiguïté) s'il existe un entier k tel que n = k2 ; en d'autres termes, un carré parfait est le carré d'un entier. A titre d'exemple, les entiers 0, 1, 4 ou encore 49 sont des carrés parfaits.

Dans notre système de numération habituel, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En base douze, il serait obligatoirement 0, 1, 4 ou 9.

Les mathématiciens se sont fréquemment intéressés à certaines curiosités concernant les carrés parfaits. La plus connue, surtout pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 32 + 42 = 52, qui commence l'étude des triplets pythagoriciens.

Depuis 1995, grâce au théorème de Fermat-Wiles, il n'y a que les carrés qui peuvent faire une identité comme celle des triplets pythagoriciens. En effet, il n'y a aucune solution à a3 + b3 = c3 avec a, b et c entiers.

La somme des premiers carrés parfaits est donnée par la formule remarquable suivante :

\sum_{0 \le p \le n}pˆ2=0ˆ2+1ˆ2+2ˆ2+3ˆ2+\cdots+nˆ2 = {n (n+1) (2n+1)\over 6}
Liste des 10 premiers carrés parfaits
Puissances Résultats
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81

Nombre carré

En mathématiques, un nombre carré est un nombre entier strictement positif qui peut être représenté géométriquement par un carré. Il est clair qu'un tel nombre peut s'écrire comme le carré d'un entier et est par conséquent un carré parfait. A titre d'exemple, 9 est un nombre carré dans la mesure où il peut être représenté par un carré de 3 ×3 points. Par convention, le premier nombre carré est égal à 1, quoique 0 soit un carré parfait (0×0=0). Remarquons que le produit de deux nombres carrés, est un nombre carré.

Représentons les premiers nombres carrés :

1
* x
4
**
**
**
**
9
***
***
***
***
***
***
16
****
****
****
****
****
****
****
****
25
*****
*****
*****
*****
*****
*****
*****
*****
*****
*****

Les 50 premiers nombres carrés sont :

   1    4    9   16   25    36   49   64   81  100
 121  144  169  196  225   256  289  324  361  400
 441  484  529  576  625   676  729  784  841  900
 961 1024 1089 1156 1225  1296 1369 1444 1521 1600
1681 1764 1849 1936 2025  2116 2209 2304 2401 2500

Le nombre carré de rang n est n 2. Il est égal à la somme des n premiers nombres impairs, comme cela apparaît sur les graphiques qui ont précédé, où un carré s'obtient à partir du précédent en ajoutant un nombre impair de points (marqués *). A titre d'exemple, 5 2 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Un nombre carré est aussi la somme de deux nombres triangulaires consécutifs.

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