Calcul infinitésimal

Le calcul illimitétésimal est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires ...



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Le calcul illimitétésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires :

Ces deux concepts définissent des opérations inverses au sens précis défini par les théorèmes fondamentaux du calcul illimitétésimal. Ceci veut dire qu'ils ont une priorité équivalente. Cependant l'approche pédagogique habituelle débute par le calcul différentiel.

Historique

Article détaillé : Histoire du calcul illimitétésimal.

Le développement du calcul illimitétésimal est attribué à Archimède, Leibniz et Newton. Cependant, quand le calcul illimitétésimal a été originellement développé, une controverse fut soulevée sur qui en avait la paternité ; Leibniz et Newton étant les principaux candidats. La vérité ne sera certainement jamais connue et de toute façon elle importe peu aujourd'hui. La contribution majeure de Leibniz fut sans conteste son dispositif de notation.

La controverse fut cependant malheureuse car elle a divisé pendant de nombreuses années les mathématiciens anglophones et ceux du reste de l'Europe. Cela a retardé le progrès de l'analyse (mathématiques basées sur le calcul illimitétésimal) en Grande-Bretagne pendant longtemps. Le vocabulaire et les notations de Newton étaient clairement moins flexibles que celles de Leibniz. Elles furent malgré tout conservées jusqu'au début du XIXe siècle quand le travail de l'Analytical Society introduisit avec succès la notation de Leibniz en Grande-Bretagne.

On pense que Newton a découvert plusieurs concepts bien avant Leibniz, mais que ce dernier fut le premier à les publier. Aujourd'hui, on considère que Leibniz et Newton ont développé le calcul illimitétésimal indépendamment.

Barrow, Descartes, Fermat, Huygens et Wallis contribuèrent aussi dans une moindre mesure au développement du calcul illimitétésimal.

Kowa Seki, un mathématicien japonais contemporain de Leibniz et Newton, a aussi énoncé quelques principes fondamentaux du calcul intégral. Cependant la récente coupure des contacts avec l'Extrême-Orient à cette époque ne permit pas la diffusion de ses travaux en Europe. [1]

La justification première du développement du calcul différentiel était de trouver une solution du «problème de la tangente».

Calcul différentiel

Article détaillé : dérivée.

Le calcul différentiel consiste à trouver les taux de variation instantanés (ou dérivées) de la valeur d'une fonction comparé aux variations du (des) paramètre (s) de celle-ci. Ce concept est au cœur de nombreux problèmes de physique. A titre d'exemple, la théorie de base des circuits électriques est formulée en termes d'équations différentielles pour décrire les dispositifs oscillants.

La dérivée d'une fonction sert à trouver ses extrema (minima et maxima) en étudiant ses variations. Une autre application du calcul différentiel est la méthode de Newton, un algorithme qui sert à trouver les zéros d'une fonction en l'approchant localement par ses tangentes. Ceci n'est qu'un particulièrement bref aperçu des nombreuses applications du calcul illimitétésimal dans des problèmes qui, à première vue, ne sont pas formulés en ces termes.

Certains attribuent à Fermat la paternité du calcul différentiel.

Calcul intégral

Article détaillé : Intégration (mathématiques) .

Le calcul intégral étudie les méthodes servant à trouver l'intégrale d'une fonction. Elle peut être définie comme la limite de la somme de termes qui correspondent chacun à la surface d'une fine bandelette sous-tendue par le graphe de la fonction. Ainsi définie, l'intégration donne un moyen effectif de calculer l'aire sous une courbe mais aussi la surface et le volume de solides comme la sphère ou le cône.

Bases

Les bases conceptuelles du calcul illimitétésimal incluent les notions de fonctions, limites, suites illimitées, séries illimitées et continuité. Ses outils incluent les techniques de manipulation symbolique associées à l'algèbre élémentaire et l'induction mathématique.

La version moderne du calcul illimitétésimal est connue comme analyse réelle qui consiste en une dérivation rigoureuse des résultats du calcul illimitétésimal ainsi qu'en généralisations comme la théorie de la mesure et l'analyse fonctionnelle.

Théorème essentiel de l'analyse

Article détaillé : théorème essentiel de l'analyse.

Le théorème essentiel de l'analyse montre que la différentiation et l'intégration sont , dans un certain sens, des opérations inverses. C'est cette «découverte» par Newton et Leibniz qui est à l'origine de l'explosion des résultats analytiques. Ce lien nous sert à retrouver la variation totale d'une fonction sur un intervalle à partir de sa variation instantanée, en intégrant cette dernière. Le théorème essentiel nous donne aussi une méthode pour calculer énormément d'intégrales définies de façon algébrique, sans passer réellement à la limite, en trouvant la primitive. Il nous permet aussi de résoudre certaines équations différentielles. Une équation différentielle est une équation qui lie une fonction à ses dérivées. Les équations différentielles sont principales en science.

Applications

Pour rendre concrètes ces notions, considérons dans le plan (xOy) un rectangle de côté x et y. Sa surface est égale à xy et dépend des coordonnées x et y du point M. En suivant une démarche intuitive, on convient de noter par dx une très petite variation de la variable x. Quand on fait subir au point M un déplacement particulièrement faible, la surface va changer et on peut écrire que S+dS= (x+dx). (y+dy) =x. y +x. dy+y. dx + dx. dy, et on en déduit aisément que dS= y. dx+x. dy+dx. dy.

Une simple application numérique où x et y seraient des mètres et dx et dy des centimètres illustre que dx. dy est négligeable comparé aux autres grandeurs.

On peut donner un statut mathématique précis aux notations dx et dy (qui sont des formes différentielles), ainsi qu'à la quantité dx. dy qui est alors du second ordre. Le calcul précédent est en fait un calcul de développement limité à l'ordre 1, faisant intervenir les dérivées premières de la fonction xy comparé aux deux variables.

On écrit donc :

 dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =yÐ + xÐ = (y,x)\cdot(dx,dy)=\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{dOM}
 \overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{dOM}= (y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)=\left(\frac{\partial(xy)}{\partial x}\vec i +\frac{\partial(xy)}{\partial y}\vec j \right)\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)

Toutes ces égalités sont différentes façons d'écrire... un produit scalaire de deux vecteurs :

 dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =yÐ + xÐ =\mathrm {\overrightarrow{\mathrm{grad}}} (xy) \cdot \overrightarrow{dOM} = \overrightarrow\nabla (xy )\cdot\overrightarrow{dOM}\overrightarrow{\mathrm{grad}}(xy)=(y,x)

L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va fluctuer le plus dans la direction du vecteur gradient et qu'elle ne va pas fluctuer pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient.

  (y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)=0 pour :ydx + xdy = 0 dans notre exemple du rectangle.

Le développement et l'utilisation du calcul illimitétésimal a eu des conséquences importantes dans quasiment l'ensemble des domaines. Il est à la base largement de sciences, surtout la physique. Presque l'ensemble des techniques et technologies modernes font un usage essentiel du calcul illimitétésimal.

Ce dernier s'est étendu avec les équations différentielles, le calcul vectoriel, le calcul des variations, l'analyse complexe, ou la géométrie différentielle.

Bibliographie

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