Calcul

En mathématiques, un calcul est une opération ou un ensemble d'opérations effectuées sur des grandeurs. Originellement ces grandeurs étaient des nombres mais le développement des outils mathématiques...



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Algèbre générale - Histoire des mathématiques

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Définitions :

  • Opération qu'on effectue sur des nombres; Estimation; Arithmétique; Moyens qu'on combine, mesures qu'on prépare pour le succès de ... (source : fr.wiktionary)
  • du latin calculus, caillou. A l'origine, les bergers avaient un pot à l'entrée de la bergerie où ils jetaient tout autant de cailloux que de ... (source : lewebpedagogique)

En mathématiques, un calcul est une opération ou un ensemble d'opérations effectuées sur des grandeurs[1]. Originellement ces grandeurs étaient des nombres mais le développement des outils mathématiques et de l'abstraction permet désormais d'effectuer des calculs sur des objets plus complexes (fonctions, vecteurs, propositions). Par la suite, l'informatique a permis de faire fréquemment des calculs sur des donnés formelle variées et le calcul est devenu un objet d'étude dans la théorie de la calculabilité.

L'addition est un exemple de calcul.

Étymologie

Le mot «calcul» vient du mot d'origine latine calculus qui veut dire «petit caillou». Selon Georges Ifrah, les bergers comptabilisaient leurs moutons avec des cailloux dans un pot à l'entrée ainsi qu'à la sortie de la bergerie[2]. Ces petits cailloux sont à l'origine d'un des plus anciens dispositifs comptables découvert à nos jours[3]. L'usage de cailloux pour symboliser des personnes, des animaux ou des mesures de grains et pour y effectuer des additions et des soustractions est essentiel dans l'évolution du calcul mathématique. Premier outil de calcul silencieux et symbolique, il est le précurseur de toute une famille d'aide au calcul que sont les abaques.

Les objets du calcul

Article détaillé : Nombre.

Les premiers calculs ont porté sur des nombres entiers (nombre d'animaux dans un troupeau, nombre de soldats dans une armée, nombre de jours dans un calendrier, prix à payer lors d'une transaction ou un impôt). Le développement des dispositifs de numération permet d'effectuer ensuite des calculs sur des nombres fractionnaires (représentant des longueurs ou des durées) comme à Sumer à la fin du IVe millénaire ou plus tard en Égypte[4].

Dans l'Antiquité, les Grecs semblent avoir eu des préoccupations moins immédiates. Le calcul sera par exemple orienté dans l'objectif de «mesurer la terre», travail de géométrie avec le sens philosophique qui lui est attaché : «Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre», proclame l'épigraphe du fronton de l'Académie de Platon. D'un outil de numération à l'usage des pâtres et des comptables, le calcul a par conséquent progressivement évolué vers l'abstraction. Les mathématiciens grecs travaillent sur des longueurs et étudient la notion de commensurabilité (existe-t-il une unité qui permette de mesurer deux longueurs ?) qui est à rapprocher de la notion actuelle de nombre rationnel. En cherchant à calculer la diagonale du carré de côté 1, c'est-à-dire racine carrée de deux, ils découvrent l'existence de nombres incommensurables[5], (on dirait aujourd'hui nombres irrationnels) et inventent la notion de longueur constructible. Pendant plusieurs siècles, les calculs s'effectuent sur ces types de nombres.

La recherche de solutions des équations du second degré mène à des calculs sur des nombres négatifs ou complexes, que d'Alembert dans son encyclopédie, qualifie respectivement de racines fausses et de racines imaginaires et ne les accepte pas comme résultat d'un calcul final[6]. Quant à la totalité des nombres réels, il faut attendre la fin du XIXe siècle pour qu'il soit clairement défini[7].

Parallèlement aux calculs sur des nombres (calcul numérique), se développent, chez les mathématiciens de langue arabe (Ibn al-Banna, Al Khwarizmi), précurseurs du calcul algébrique des calculs sur des polynômes[8].

Les notations symboliques développées par François Viète et René Descartes introduisent ce type de calcul en Europe. Les notations symboliques libèrent les calculs du champ des nombres et on effectue en Europe des calculs sur des objets aussi divers que des fonctions (XVIIe siècle), ou des vecteurs (XIXe siècle). Vers la fin du XIXe siècle, l'école allemande crée les ensembles (corps, anneaux sur lesquels se définissent des opérations qui n'ont qu'un lointain rapport avec l'addition et la multiplication classique, quoique la même notation leur soit attribuée (+ et ×). C'est l'apparition des structures algébriques.

Au XIXe et XXe siècles, le développement de la logique mathématique offre un nouveau champ d'application : les propositions logiques. C'est le domaine du calcul des propositions.

Les opérations

On retrouve dans le domaine des opérations une évolution identique. Les quatre premières opérations sont , par ordre de complexité, l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Des règles de calculs sont établies pour ces quatre opérations qui vont des tables d'addition, ou de multiplication aux algorithmes de la multiplication ou de la division.

L'extraction de racine (racine carrée, racine cubique, etc. ) est d'un niveau de complexité supérieur. Le livre chinois Les Neufs Chapitres, commentés par Liu Hui (263), présente des algorithmes d'extractions de racines carrées qui s'apparentent à l'algorithme de division, l'opération s'y appelle d'ailleurs le plus fréquemment «diviser par extraction de racine carrée».

L'exponentiation (calcul d'ab), classique pour b entier, est plus tardive pour b rationnel ou réel.

Au fur et à mesure que les objet de calcul se diversifient, les opérations en font tout autant. À côté des opérations classiques d'addition, de soustraction et de multiplication par un réel, on trouve alors le produit matriciel, du produit vectoriel ou scalaire sur des vecteurs. On peut aussi faire le produit de polynômes, en faire une division euclidienne mais également les dériver. On peut aussi calculer la dérivée d'une fonction dérivable, intégrer une fonction intégrable, faire le produit de fonctions numériques ou composer des applications.

Le calcul en mathématique regroupe alors l'ensemble des branches des mathématiques, du calcul statistique (moyenne, variance, estimateur) au calcul intégral, au calcul illimitétésimal ou au calcul formel.

Sur les propositions logiques, les opérations sont les opérateurs logiques (et, ou, négation, etc. ).

Calcul exact et calcul approché

Un calcul est exact lorsque le résultat apporté ne change en rien du résultat cherché. Le calcul d'une somme, d'une différence ou d'un produit peut être effectué de manière exacte si les valeurs de départ sont exactes et si la taille du nombre n'excède pas la capacité de calcul. Par contre, il est habituel que le calcul d'un quotient ou d'une racine ne puisse mener qu'à une valeur approchée. On parle alors de calcul approché. On cherche fréquemment à apporter, avec le résultat approché, une majoration de l'erreur commise. A titre d'exemple, 7/3 est à peu près égal à 2, 33 avec une erreur par défaut inférieure à 0, 01, ou bien toujours π est à peu près égal à 256/81. Ce calcul approché de π était connu des Égyptiens dès le XVIIe siècle av. J. -C. [9]. Certains calculs d'aire et de volume ne peuvent s'effectuer qu'en valeur approchée.

Le calcul approché apparaît particulièrement tôt dans l'histoire du calcul. Il est à l'origine de la création de tables numériques de valeurs approchées : table des sinus en Inde[10] et chez les mathématiciens de langue arabe[11], tables de logarithmes en Europe au XVIIe siècle[12]. Il est un objet d'étude en Europe dès le XVIIe siècle avec le développement des fonctions en séries entières, et les recherches de valeurs approchées de zéro d'une fonction. Il reste particulièrement actuel et lié aux capacités de calcul des ordinateurs.

Outils d'aide au calcul

Articles détaillés : Algorithme et Abaque (calcul) .

Longtemps, le calcul demandait des opérateurs humains, même si ces derniers étaient assistés d'auxiliaires mécaniques tels que le boulier ou l'abaque. Les méthodes de calculs complexes sont décrites particulièrement tôt avec algorithmes qui libèrent l'utilisateur de la démarche de recherche pour ne lui laisser que les étapes du calcul à effectuer. C'est le cas par exemple des algorithmes figurant dans les mathématiques babyloniennes[13] ou dans les Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique en Chine (263).

Les choses ont changé avec la naissance du calcul automatique.

L'évolution des règles du calcul en mathématiques a permis la découverte de nouveaux algorithmes, qui décomposent simplement les instructions. Ces nouvelles méthodes sont principales en informatique et en robotique, et sont particulièrement utilisées par les autres sciences telles que la physique ou la chimie.

Notes et références

  1. Dictionnaire, Le petit Robert
  2. George Ifrah, Histoire universelle des chiffres, II chap 5
  3. Lors de fouilles organisée en 1977 à Suse, on a pu exhiber des bourses en terre cuite scellées contenant des billes en terre crue de forme diverses associées aux diverses unités d'un dispositif de numération et datant de 3300 av JC. Elles servait d'archives pour des comptables sumériens lors de transactions (voir George Ifrah, Histoire universelle des chiffres, chap 10)
  4. Paul Benoît, Karine Chemla, Jim Ritter, Histoire des fractions, fractions d'histoire, Birkhäuser, 1992 
  5. Voir par exemple Aristote (-384, -322) parlant de l'irrationalité de 2 comme d'une chose acquise, Aristote, Organon, Premiers Analytiques, E3r en
  6. Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, art. EQUATION
  7. Le terme de nombre réel apparait pour la première fois chez Georg Cantor en 1883
  8. Ahmed Djebbar, Une Histoire de la science arabe, chap. 5, les mathématiques
  9. Papyrus Rhind
  10. Table des sinus des Siddhanta au VIIe siècle
  11. Tables hakémites de Ibn Yunus au Xe siècle
  12. Arithmética logarithmica, Henry Briggs, (Londres 1624)
  13. Tablettes de la dynastie Hamourabi (XVIIe siècle av. J. -C. ), voir Pierre Lescanne, Comment calculait-on il y a 4000 ans ?

Annexes

Bibliographie


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