Axiomes des probabilités

Dans la théorie des probabilités, une mesure de probabilité est une application qui à un évènement A quelconque associe un nombre réel.

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Probabilités - Axiome

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Dans la théorie des probabilités, une mesure de probabilité (ou plus brièvement probabilité) $\ \mathbb{P}$ est une application qui à un évènement A quelconque associe un nombre réel (noté $\ \mathbb{P}(A)$ ). Une mesure de probabilité doit satisfaire les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andreï Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés.

Une mesure de probabilité $\ \mathbb{P}$ est toujours définie sur un espace probabilisable $\left(\Omega, \mathcal A\right),$ i. e. sur un couple constitué d'un ensemble d'éventualités, l'univers Ω, et d'une tribu $\mathcal A$ de parties de l'univers Ω. Les éléments de la tribu $\mathcal A$ sont nommés les évènements. Ainsi la mesure de probabilité $\ \mathbb{P}$ est une application de $\mathcal A$ dans $\mathbb R.$

Premier axiome

Pour tout évènement $\ A$ :

$0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1.$

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Deuxième axiome

$\ \Omega$ désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire reconnue,

$\ \mathbb{P}(\Omega) = 1$ ,

C'est-à-dire que la probabilité de l'évènement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. C'est à dire, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des évènements élémentaires est égale à 1.

Troisième axiome

Toute suite d'évènements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), $A_1,\, A_2, \dots$ satisfait :

$\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_{i = 1}ˆ{+\infty} \mathbb{P}(A_i)$ .

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'évènements est égale à la somme des probabilités de ces évènements. Ceci se nomme la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les évènements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie généralement).

Conséquences

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

$\mathbb{P}(\emptyset)=0.$

Démonstration

Utilisons le 3ème axiome avec pour tout On obtient

$\mathbb{P}(\emptyset)=\sum_{k\ge 1}\mathbb{P}(\emptyset),$

relation qui n'est pas satisfaite si puisqu'alors le terme de droite vaut Par conséquent il ne reste que qui d'ailleurs convient.

Si $\ A$ , $\ B$ sont deux évènements incompatibles (ou disjoints), alors

$\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B).$

D'une façon plus générale, si $\ (A_k)_{1\le k\le n}$ est une famille d'évènements 2 à 2 incompatibles, alors

$\mathbb{P}\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right) = \sum_{1\le k\le n}\mathbb{P}(A_k).$

Démonstration

Utilisons le 3ème axiome avec pour tout On obtient bien une suite d'évènements incompatibles 2 à 2 tels que

$\bigcup_{1\le k\le n} A_k=\bigcup_{k\ge 1} A_k,$

donc

$\mathbb{P}\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup_{k\ge 1} A_k\right),$

mais en vertu du troisième axiome

$\mathbb{P}\left(\bigcup_{k\ge 1} A_k\right)=\sum_{k\ge 1}\mathbb{P}\left(A_k\right)$

et finalement, puisque pour tout $\mathbb{P}\left(A_k\right)=\mathbb{P}\left(\emptyset\right)=0,\$ on obtient le résultat désiré.

$\mathbb{P}(B \setminus A) = \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$ ;

Cette relation veut dire que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence $\mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$ . Cette relation découle de ce que B est réunion disjointe de $B \setminus A$ et de $A \cap B.$

En particulier, si $A \subset B$ , alors

$\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)$

C'est la propriété de croissance de la probabilité. En effet, dans le cas spécifique où $A \subset B$ , la propriété précédente s'écrit

$\mathbb{P}(B \setminus A) =\mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A),\$ où le premier terme est clairement positif ou nul.

Dans le cas spécifique où $B = Ω,$ cela donne que, pour tout évènement $\ A$ ,

$\mathbb{P}(\Omega \setminus A) = 1 - \mathbb{P}(A)$

Ceci veut dire que la probabilité pour qu'un évènement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise quand il est plus simple de déterminer la probabilité de l'évènement contraire que celle de l'évènement lui-même.

Pour tous évènements $\ A$ , $\ B$ ,

$\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B).$

Ceci veut dire que la probabilité pour que l'un au moins des évènements $A$ ou $B$ se réalise est égale à la somme des probabilités pour que $\ A$ se réalise, et pour que $\ B$ se réalise, moins la probabilité pour que $\ A$ et $\ B$ se réalisent simultanément. De même,

$\mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(B \cap C) - \mathbb{P}(C \cap A) - \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(A \cap B \cap C).$

Ces deux dernières formules sont des cas spécifiques (n=2, 3) du Principe d'inclusion-exclusion :

$\mathbb{P}\left(\,\bigcup_{i=1}ˆn A_i\,\right)=\sum_{k=1}ˆn \left((-1)ˆ{k-1} \sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n} \mathbb{P}\left(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \ldots \cap A_{i_k}\right)\right),$

qui donne la probabilité de la réunion de n ensembles non obligatoirement disjoints.

Limites croissantes et décroissantes

Toute suite croissante d'évènements $A_1\,\subset\, A_2\,\subset\, A_3\,\subset\,\dots$ satisfait :

$\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n).$

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) d'évènements croissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

Démonstration

On pose

$B_1=A_1\quad\text{et}\quad\forall n\ge 2, \ B_n=A_n\backslash A_{n-1}.$

Alors les $B i$ sont disjoints et vérifient

$\bigcup_{n\ge 1}B_n=\bigcup_{n\ge 1}A_n\quad\text{et}\quad\forall n\ge 1, \ \bigcup_{k= 1}ˆnB_k=A_n.$

Les propriétés de σ-additivité et d'additivité, respectivement, entrainent tandis que

$\sum_{n\ge 1}\mathbb{P}(B_n)=\mathbb{P}\left(\bigcup_{n\ge 1}A_n\right)\quad\text{et}\quad\forall n\ge 1, \ \sum_{k= 1}ˆn \mathbb{P}(B_k)=\mathbb{P}(A_n).$

Alors n'est autre que la définition de la somme d'une série comme limite de ses sommes partielles.

Toute suite décroissante d'évènements $A_1\,\supset\, A_2\,\supset\, A_3\,\supset\,\dots$ satisfait :

$\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n).$

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est l'intersection (dénombrable) d'évènements décroissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

Formulation à partir de la théorie de la mesure

Article détaillé : Théorie de la mesure.

De manière équivalente, on définit plus simplement le triplet $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ représentant un espace probabilisé, comme une espace mesuré dont la mesure, $\mathbb{P}$ , a la particularité d'avoir une masse totale égale à 1 :

$\mathbb{P}(\Omega)=1.$

En théorie de la mesure, les évènements sont nommés «ensembles mesurables». Ce mini-lexique sert à traduire les résultats de la théorie de la mesure et de l'intégration de Lebesgue en termes probabilistes.

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