Axiomes des probabilités
Dans la théorie des probabilités, une mesure de probabilité est une application qui à un évènement A quelconque associe un nombre réel.
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Dans la théorie des probabilités, une mesure de probabilité (ou plus brièvement probabilité) est une application qui à un évènement A quelconque associe un nombre réel (noté
). Une mesure de probabilité doit satisfaire les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andreï Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés.
Une mesure de probabilité est toujours définie sur un espace probabilisable
i. e. sur un couple constitué d'un ensemble d'éventualités, l'univers Ω, et d'une tribu
de parties de l'univers Ω. Les éléments de la tribu
sont nommés les évènements. Ainsi la mesure de probabilité
est une application de
dans
Premier axiome
Pour tout évènement :
C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.
Deuxième axiome
désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire reconnue,
,
C'est-à-dire que la probabilité de l'évènement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. C'est à dire, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des évènements élémentaires est égale à 1.
Troisième axiome
Toute suite d'évènements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), satisfait :
.
C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'évènements est égale à la somme des probabilités de ces évènements. Ceci se nomme la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les évènements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie généralement).
Conséquences
À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :
Utilisons le 3ème axiome avec pour tout On obtient

relation qui n'est pas satisfaite si puisqu'alors le terme de droite vaut Par conséquent il ne reste que qui d'ailleurs convient.
- Si
,
sont deux évènements incompatibles (ou disjoints), alors
- D'une façon plus générale, si
est une famille d'évènements 2 à 2 incompatibles, alors
Utilisons le 3ème axiome avec pour tout On obtient bien une suite d'évènements incompatibles 2 à 2 tels que

donc

mais en vertu du troisième axiome

et finalement, puisque pour tout on obtient le résultat désiré.
;
Cette relation veut dire que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence . Cette relation découle de ce que B est réunion disjointe de
et de
- En particulier, si
, alors
C'est la propriété de croissance de la probabilité. En effet, dans le cas spécifique où , la propriété précédente s'écrit
où le premier terme est clairement positif ou nul.
- Dans le cas spécifique où B = Ω, cela donne que, pour tout évènement
,
Ceci veut dire que la probabilité pour qu'un évènement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise quand il est plus simple de déterminer la probabilité de l'évènement contraire que celle de l'évènement lui-même.
- Pour tous évènements
,
,
Ceci veut dire que la probabilité pour que l'un au moins des évènements A ou B se réalise est égale à la somme des probabilités pour que se réalise, et pour que
se réalise, moins la probabilité pour que
et
se réalisent simultanément. De même,
- Ces deux dernières formules sont des cas spécifiques (n=2, 3) du Principe d'inclusion-exclusion :
qui donne la probabilité de la réunion de n ensembles non obligatoirement disjoints.
Limites croissantes et décroissantes
- Toute suite croissante d'évènements
satisfait :
C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) d'évènements croissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.
On pose

Alors les Bi sont disjoints et vérifient

Les propriétés de σ-additivité et d'additivité, respectivement, entrainent tandis que

Alors n'est autre que la définition de la somme d'une série comme limite de ses sommes partielles.
- Toute suite décroissante d'évènements
satisfait :
C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est l'intersection (dénombrable) d'évènements décroissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.
Formulation à partir de la théorie de la mesure
De manière équivalente, on définit plus simplement le triplet représentant un espace probabilisé, comme une espace mesuré dont la mesure,
, a la particularité d'avoir une masse totale égale à 1 :

En théorie de la mesure, les évènements sont nommés «ensembles mesurables». Ce mini-lexique sert à traduire les résultats de la théorie de la mesure et de l'intégration de Lebesgue en termes probabilistes.
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