Arithmétique

L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes.



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L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle d'une façon plus générale la «science des nombres». Son étymologie provient du mot grec «αριθμός» qui veut dire «nombre».

Jadis, l'arithmétique se limitait à l'étude des propriétés des entiers naturels, des entiers relatifs, et des nombres rationnels (sous forme de fractions), ainsi qu'aux propriétés des opérations sur ces nombres.

Les opérations arithmétiques respectant les traditions sont l'addition, la division, la multiplication, et la soustraction.

Cette discipline fut ensuite élargie par l'inclusion de l'étude d'autres nombres comme les réels (sous forme de développement décimal infini), ou même de concepts plus avancés, comme l'exponentiation ou la racine carrée.

Histoire

Dans l'école pythagoricienne (Pythagore de Samos), à la seconde moitié du VIe siècle avant J. -C., l'arithmétique était, avec la géométrie, l'astronomie et la musique, une des quatre sciences quantitatives ou mathématiques (Mathemata). Celles-ci furent regroupées au sein des sept arts libéraux par Martianus Capella (Ve siècle), et plus exactement désignées sous le nom de quadrivium par Boèce. Les trois autres disciplines étaient littéraires (grammaire, rhétorique, dialectique) et firent l'objet des travaux de Cassiodore et , plus tard, Alcuin qui leur donna le nom de trivium.

Différentes arithmétiques

Arithmétique élémentaire

Article détaillé : Arithmétique élémentaire.

L'expression arithmétique élémentaire sert à désigner quelquefois la forme la plus basique des mathématiques, apprise à l'école élémentaire. Il s'agit principalement de l'étude des nombres, et des opérations élémentaires (soustraction, addition, division, multiplication).

Ce terme sert à désigner aussi les rudiments des techniques de l'arithmétique. Les outils utilisés sont la division euclidienne, le lemme d'Euclide, le théorème de Bachet-Bézout ou encore le théorème essentiel de l'arithmétique. Il sert à démontrer des théorèmes comme celui de Wilson ou encore le petit théorème de Fermat.

Cette deuxième acception du terme est traité dans l'article détaillé.

Arithmétique modulaire

Article détaillé : Arithmétique modulaire.

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) étudie la totalité des congruences sur les entiers, c'est-à-dire celui composé des restes de la division euclidienne par un nombre entier donné. Cet ensemble est naturellement pourvu d'une addition et d'une multiplication.

L'étude de cette structure porte le nom d'arithmétique modulaire. Elle sert à généraliser les résultats de l'arithmétique élémentaire. Le théorème d'Euler, correspondant à un résultat plus fort que celui du petit théorème de Fermat, illustre une généralisation.

L'arithmétique modulaire est utilisé en cryptologie ou pour la construction de codes correcteurs en informatique.

Théorie algébrique des nombres

Article détaillé : Théorie algébrique des nombres.

De nombreuses questions ne trouvent pas de réponse, même avec les techniques de l'arithmétique modulaire. Des exemples proviennent d'équations diophantiennes, c'est-à-dire d'équations dont les cœfficients sont entiers et dont les solutions recherchées sont entières. Une méthode consiste à élargir la totalité des entiers à une nouvelle structure qualifiée d'anneau d'entiers algébriques, comme ceux des entiers de Gauss, d'Eisenstein ou ceux associés aux nombres de la forme a + b. √5 définissant une arithmétique du nombre d'or.

L'étude de cette structure, plus générale que celle de l'arithmétique modulaire qui se limite aux anneaux euclidiens, forme le premier chapitre de la théorie algébrique des nombres.

Arithmétique des polynômes

Article détaillé : Arithmétique des polynômes.

L'étude de l'arithmétique, au sens des nombres entiers, suppose d'établir des théorèmes. Ces théorèmes se démontrent avec techniques qui ne se limitent pas aux nombres entiers. Il est envisageable de faire usage de la même démarche sur d'autres structures, comme par exemple celle des polynômes. A travers l'étude des polynômes cyclotomiques, Gauss parvient à trouver un nouveau polygone régulier constructible à la règle et au compas, de 17 côtés.

Sa démarche est de nature arithmétique, pour cette raison, on parle d'arithmétique des polynômes.

Ensembles utilisés en arithmétique

La totalité des nombres ont été regroupés dans des ensembles. Les plus connus sont :

Certains de ces ensembles sont des sous-ensembles des autres ; L'ensemble des éléments de \mathbb{N} appartiennent aussi à \mathbb{Q}, par exemple. Mais à l'inverse, un élément de \mathbb{Q} n'est pas nécessairement élément de \mathbb{N}. On peut représenter ces ensembles par des cercles concentriques : le plus petit est \mathbb{N}, puis viennent \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} et \mathbb{C}.

Il est envisageable de ne considérer qu'une partie d'un ensemble. Ainsi, on notera \mathbb{Rˆ+} la totalité des nombres positifs de \mathbb{R}. De même on notera \mathbb{Rˆ*} la totalité \mathbb{R} privé de 0. On remarque entre autres que \mathbb{Zˆ+}\,=\,\mathbb{N} et que \mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}\,=\,\mathbb{Zˆ{-*}} (il s'agit de \mathbb{Z} «privé de» \mathbb{N}. )

Propriétés

De nombreux nombres entiers ont des propriétés spécifiques. Ces propriétés font l'objet d'une théorie nommée Théorie des nombres. Parmi ces nombres spécifiques les nombres premiers sont probablement principaux.

Nombres premiers

C'est le cas des nombres dits premiers. Ce sont des éléments de \mathbb{N} possédant seulement deux diviseurs positifs différents, à savoir 1 et eux-mêmes. Les premiers nombres premiers sont 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 etc. 1 n'est pas premier car il n'a pas 2 diviseurs différents, mais un seul. Il existe une illimitété de nombres premiers. En complétant une grille de taille 10\times10 avec les 100 premiers entiers non nuls, et en rayant ceux qui ne sont pas premiers, on obtient les nombres premiers appartenant à \{ 1,\ldots 100 \} par un procédé nommé un crible d'Eratosthène, du nom du savant grec qui l'inventa.

Nombres pairs et impairs

Les entiers naturels sont divisés en deux catégories bien connues des joueurs de roulette : les pairs et les impairs.

Un entier n pair est un multiple de 2 et peut être noté n = 2\,k, avec k\in\mathbb{N} Un nombre n impair n'est pas multiple de 2 et se note n = 2\,k + 1, avec k\in\mathbb{N}.

On montre que tout entier est soit pair soit impair, et au moins l'un des deux, et ce pour un unique k : on note \forall n\in\mathbb{N},\, \exists ! k\in\mathbb{N},\,\left(n=2\,k\lor n=2\,k+1\right)
Les premiers entiers pairs sont 0, 2, 4, 6, 8, 10... Les premiers entiers impairs sont 1, 3, 5, 7, 9, 11...

Voir aussi

  • Transitivité
  • Ordre des opérations
  • Arithmétique saturée
  • Nombre premier

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