Arbre de probabilité
En probabilité élémentaire, un arbre de probabilité est un schéma servant à résumer une expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles.
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En probabilité élémentaire, un arbre de probabilité est un schéma servant à résumer une expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles.
Ces arbres sont abondamment utilisés en théorie de la décision, surtout appliquée à la détection et au forage pétroliers
Exemple de problème réel
Soit un lieu où on suppute la présence de pétrole avec une probabilité p connue.
Si on effectue un test , cette probabilité pourra être rectifiée à une valeur q toujours inconnue; le test est coûteux, mais peut éviter de forer un puits sec; par contre, la réussite du test n'implique pas avec certitude que le puits ne sera pas sec.
Doit-on effectuer le test ? Doit-on forer sans effectuer le test ?
Voir plan d'expérience, Bandit manchot (mathématiques) .
Le même exemple, ramené à sa partie principale
On cherche à résumer l'expérience aléatoire suivante :
- On lance un dé
- Si le numéro obtenu est un multiple de 3, on extrait au hasard une boule dans l'urne 1 qui contient 3 boules noires, 4 boules blanches et 3 boules rouges
- Si le numéro obtenu n'est pas un multiple de 3, on extrait une boule dans l'urne 2 qui contient 3 boules noires et 2 boules blanches.
La première étape sert à définir un univers Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} sur lequel on applique une équiprobabilité (on estime le dé idéalement équilibré). On considère alors les deux évènements complémentaires
- U1 = «le lancer conduit à tirer dans l'urne 1»
- U2 = «le lancer conduit à tirer dans l'urne 2»
On a par conséquent U1 = { 3 ; 6 } et p (U1) = 1/3 puis p (U2) = 2/3.
Pour étudier la seconde étape, il faut étudier ce qui se passe lorsque on tire dans l'urne 1 ou l'urne 2.
- Le tirage dans l'urne 1 sert à définir un univers Ω1={N ; B ; R} sur lequel on applique la probabilité suivante
- p (N) = 3/10
- p (B) = 4/10
- p (R) = 3/10.
- Il s'agit en réalité du transfert à Ω1 d'une équiprobabilité définie sur Ω1'={N, N, N, B, B, B, B, R, R, R}.
- De même, le tirage dans l'urne 2 sert à définir un univers Ω2={N, B} de probabilités 3/5 et 2/5.
L'expérience se résume alors dans l'arbre suivant :

La lecture des probabilités se fait alors aisément :
- Probabilité de tirer dans l'urne 1 et d'obtenir une noire :
- Probabilité de tirer dans l'urne 2 et d'obtenir une noire :
La probabilité de tirer une boule noire est alors :
Définitions et propriétés
On appelle arbre de probabilité un graphe orienté et pondéré obéissant aux règles suivantes
- La somme des pondérations (ou probabilités) des branches issues d'un même sommet donne 1.
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
- La pondération de la branche allant du sommet A vers le sommet B est la probabilité conditionnelle de B sachant que A est déjà réalisé pA (B) .
On retrouve alors la propriété de la probabilité conditionnelle :
(produit des chemins).
Mais aussi la formule des probabilités totales :
- si Ω1, Ω2, ..., Ωn définit une partition de Ω (ensembles deux à deux disjoints dont l'union donne Ω), si les Ωi sont de probabilité non nulle, et si A est un évènement de Ω,
Que on a exploitée dans l'exemple pour calculer p (N)
L'arbre de probabilité favorise aussi l'inversion des probabilités conditionnelles ou théorème de Bayes :
Dans l'illustration précédente, cela revient à poser la question : «Sachant qu'on a tiré une noire, quelle est la probabilité qu'on ait tiré dans l'urne 1?»
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