Arbre de probabilité

En probabilité élémentaire, un arbre de probabilité est un schéma servant à résumer une expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles.



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En probabilité élémentaire, un arbre de probabilité est un schéma servant à résumer une expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles.

Ces arbres sont abondamment utilisés en théorie de la décision, surtout appliquée à la détection et au forage pétroliers

Exemple de problème réel

Soit un lieu où on suppute la présence de pétrole avec une probabilité p connue.

Si on effectue un test , cette probabilité pourra être rectifiée à une valeur q toujours inconnue; le test est coûteux, mais peut éviter de forer un puits sec; par contre, la réussite du test n'implique pas avec certitude que le puits ne sera pas sec.

Doit-on effectuer le test ? Doit-on forer sans effectuer le test ?

Voir plan d'expérience, Bandit manchot (mathématiques) .

Le même exemple, ramené à sa partie principale

On cherche à résumer l'expérience aléatoire suivante :

On lance un dé

La première étape sert à définir un univers Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} sur lequel on applique une équiprobabilité (on estime le dé idéalement équilibré). On considère alors les deux évènements complémentaires

On a par conséquent U1 = { 3 ; 6 } et p (U1) = 1/3 puis p (U2) = 2/3.

Pour étudier la seconde étape, il faut étudier ce qui se passe lorsque on tire dans l'urne 1 ou l'urne 2.

Il s'agit en réalité du transfert à Ω1 d'une équiprobabilité définie sur Ω1'={N, N, N, B, B, B, B, R, R, R}.

L'expérience se résume alors dans l'arbre suivant :

Arbre proba.png

La lecture des probabilités se fait alors aisément :

p(U1\cap N)=1/3 \times 3/10 = 1/10
p(U2\cap N)=2/3 \times 3/5= 2/5

La probabilité de tirer une boule noire est alors :

p(N) = p(U1\cap N)+ p(U2\cap N)=1/2

Définitions et propriétés

On appelle arbre de probabilité un graphe orienté et pondéré obéissant aux règles suivantes

On retrouve alors la propriété de la probabilité conditionnelle :

p(A \cap B)=p(A)\times p_A(B) (produit des chemins).

Mais aussi la formule des probabilités totales :

si Ω1, Ω2, ..., Ωn définit une partition de Ω (ensembles deux à deux disjoints dont l'union donne Ω), si les Ωi sont de probabilité non nulle, et si A est un évènement de Ω,
p(A) = \sum_{i=1}ˆnp(A\cap \Omega_i) = \sum_{i=1}ˆnp(\Omega_i) \times p_{\Omega_i}(A)

Que on a exploitée dans l'exemple pour calculer p (N)

p(N) = p(U1)\times p_{U1}(N)+p(U2)\times p_{U2}(N)
p(N) = 1/3 \times 3/10+ 2/3 \times 3/5 = 1/2

L'arbre de probabilité favorise aussi l'inversion des probabilités conditionnelles ou théorème de Bayes :

p_{B}(A) = \frac{p_{A}(B).p(A) }{p(B)}

Dans l'illustration précédente, cela revient à poser la question : «Sachant qu'on a tiré une noire, quelle est la probabilité qu'on ait tiré dans l'urne 1?»

p_{N}(U1) = \frac{p_{U1}(N).p(U1) }{p(N)} = \frac{1/10}{1/10+2/5}=1/5

Voir aussi

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