Arbre de probabilité

En probabilité élémentaire, un arbre de probabilité est un schéma servant à résumer une expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles.

Exemple de problème réel

Soit un lieu où on suppute la présence de pétrole avec une probabilité p connue.

Si on effectue un test , cette probabilité pourra être rectifiée à une valeur q toujours inconnue; le test est coûteux, mais peut éviter de forer un puits sec; par contre, la réussite du test n'implique pas avec certitude que le puits ne sera pas sec.

Doit-on effectuer le test ? Doit-on forer sans effectuer le test ?

Voir plan d'expérience, Bandit manchot (mathématiques) .

Le même exemple, ramené à sa partie principale

On cherche à résumer l'expérience aléatoire suivante :

On lance un dé

Si le numéro obtenu est un multiple de 3, on extrait au hasard une boule dans l'urne 1 qui contient 3 boules noires, 4 boules blanches et 3 boules rouges
Si le numéro obtenu n'est pas un multiple de 3, on extrait une boule dans l'urne 2 qui contient 3 boules noires et 2 boules blanches.

La première étape sert à définir un univers Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} sur lequel on applique une équiprobabilité (on estime le dé idéalement équilibré). On considère alors les deux évènements complémentaires

U1 = «le lancer conduit à tirer dans l'urne 1»
U2 = «le lancer conduit à tirer dans l'urne 2»

On a par conséquent U1 = { 3 ; 6 } et p (U1) = 1/3 puis p (U2) = 2/3.

Pour étudier la seconde étape, il faut étudier ce qui se passe lorsque on tire dans l'urne 1 ou l'urne 2.

Le tirage dans l'urne 1 sert à définir un univers Ω₁={N ; B ; R} sur lequel on applique la probabilité suivante
- p (N) = 3/10
- p (B) = 4/10
- p (R) = 3/10.

Il s'agit en réalité du transfert à Ω₁ d'une équiprobabilité définie sur Ω1'={N, N, N, B, B, B, B, R, R, R}.

De même, le tirage dans l'urne 2 sert à définir un univers Ω₂={N, B} de probabilités 3/5 et 2/5.

L'expérience se résume alors dans l'arbre suivant :

La lecture des probabilités se fait alors aisément :

Probabilité de tirer dans l'urne 1 et d'obtenir une noire :

$p(U1\cap N)=1/3 \times 3/10 = 1/10$

Probabilité de tirer dans l'urne 2 et d'obtenir une noire :

$p(U2\cap N)=2/3 \times 3/5= 2/5$

La probabilité de tirer une boule noire est alors :

$p(N) = p(U1\cap N)+ p(U2\cap N)=1/2$

Définitions et propriétés

On appelle arbre de probabilité un graphe orienté et pondéré obéissant aux règles suivantes

La somme des pondérations (ou probabilités) des branches issues d'un même sommet donne 1.
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
La pondération de la branche allant du sommet A vers le sommet B est la probabilité conditionnelle de B sachant que A est déjà réalisé $p A (B)$ .

On retrouve alors la propriété de la probabilité conditionnelle :

$p(A \cap B)=p(A)\times p_A(B)$ (produit des chemins).

Mais aussi la formule des probabilités totales :

Ω 1

Ω 2

, ...,

Ω n

définit une partition de Ω (ensembles deux à deux disjoints dont l'union donne Ω), si les

Ω i

sont de probabilité non nulle, et si A est un évènement de Ω,

$p(A) = \sum_{i=1}ˆnp(A\cap \Omega_i) = \sum_{i=1}ˆnp(\Omega_i) \times p_{\Omega_i}(A)$

Que on a exploitée dans l'exemple pour calculer p (N)

$p(N) = p(U1)\times p_{U1}(N)+p(U2)\times p_{U2}(N)$

$p(N) = 1/3 \times 3/10+ 2/3 \times 3/5 = 1/2$

L'arbre de probabilité favorise aussi l'inversion des probabilités conditionnelles ou théorème de Bayes :

$p_{B}(A) = \frac{p_{A}(B).p(A) }{p(B)}$

Dans l'illustration précédente, cela revient à poser la question : «Sachant qu'on a tiré une noire, quelle est la probabilité qu'on ait tiré dans l'urne 1?»

$p_{N}(U1) = \frac{p_{U1}(N).p(U1) }{p(N)} = \frac{1/10}{1/10+2/5}=1/5$

Voir aussi

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