Anneau factoriel

En mathématiques, un anneau factoriel est un cas spécifique d'anneau commutatif, unitaire et intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème essentiel de l'arithmétique pour une telle structure.

Catégories :

Anneau

Page(s) en rapport avec ce sujet :

Si A est un anneau commutatif 2, on dispose de l'anneau des polynômes... homomorphisme d'anneaux de A vers B et de n éléments b1, ..., bn de B (les..... A ont cette propriété (on dit qu'un anneau factoriel est totalement... (source : math.u-psud)

En mathématiques, un anneau factoriel est un cas spécifique d'anneau commutatif, unitaire et intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème essentiel de l'arithmétique pour une telle structure. Tout élément d'un anneau factoriel se décompose en un produit d'un élément inversible et d'éléments irréductibles. Un élément irréductible est un élément qui, dans une décomposition en produit de deux facteurs, contient toujours un élément inversible. Par exemple dans Z, l'anneau des entiers, -2 est irréductible. La décomposition en facteurs irréductibles est unique dans un anneau factoriel, aux éléments inversibles près.

Les exemples d'anneau factoriel ne sont pas rares. Tout anneau principal, c'est-à-dire tel que tout idéal est principal est factoriel. La réciproque n'est pas vraie. Ainsi un anneau de polynômes à cœfficients dans un anneau factoriel est factoriel mais n'est pas principal si l'anneau n'est pas un corps. En ce sens, le concept d'anneau factoriel généralise celui d'anneau principal.

Certains résultats usuels de l'arithmétique élémentaire s'appliquent sur un anneau factoriel. Ainsi, le lemme d'Euclide est vérifié et il est envisageable de définir un plus grand commun diviseur et un plus petit commun multiple bénéficiant presque des propriétés usuelles sur Z.

Définitions

La notion d'anneau factoriel s'appuie sur les deux définitions :

Un élément a non nul d'un anneau commutatif unitaire et intègre est dit irréductible si et uniquement s'il n'est pas inversible et si toute décomposition en deux facteurs b et c de a, a = b. c comporte un élément inversible (soit b soit c).

Deux éléments a et b d'un anneau commutatif unitaire et intègre sont dit associés si et uniquement s'il existe un élément inversible u tel que a = u. b. Cette relation est une relation d'équivalence.

La définition la plus courante d'anneau factoriel est :

Un anneau commutatif unitaire intègre A est dit factoriel si et uniquement s'il vérifie les deux propriétés suivantes :

(1) Pour tout élément a non nul de A, il existe un élément inversible u et une suite finie p₁, …, p_n d'éléments irréductibles de A tel que :

$a = u p_1\cdots p_n\;$

(2) La décomposition est unique à permutation près des $p i$ ainsi qu'à produit par des éléments inversibles près.

Exemple : La totalité Z des entiers relatifs est un anneau factoriel. Ses éléments inversibles sont -1 et 1. Ses éléments irréductibles sont les nombres premiers et leurs opposés. Tout élément non nul de Z se décompose en un produit constitué d'un élément inversible et d'éléments irréductibles. A titre d'exemple, -28 se décompose en -1.2.2.7. On pourrait aussi décomposer -28 en 1. (-2). 2.7 mais cette dernière décomposition est reconnue comme la même que la première, car elle résulte du produit de la première par des éléments inversibles.

Certains anneaux possèdent des éléments irréductibles spécifiques, ainsi un élément irréductible et positif de Z est nommé nombre premier. Dans K[X] les éléments spécifiques sont les polynômes irréductibles unitaires, c'est-à-dire dont le cœfficient du monôme dominant est égal à un. Chaque classe d'équivalence contient un unique élément irréductible spécifique. Cette approche sert à normaliser la décomposition en facteurs irréductibles de telle sorte que l'unicité ne soit plus définie aux éléments inversibles près.

Il est toujours envisageable d'établir une normalisation de cette nature. Il suffit de définir une famille (p_i) d'éléments irréductibles tel que si i est différent de j alors p_i n'est pas associé à p_j et si π est un élément irréductible il existe un indice i tel que π est associé à p_i. Le lemme de Zorn montre qu'il est toujours envisageable de trouver une famille maximale d'éléments irréductibles deux à deux non associés. Cette normalisation est utilisée dans la suite de l'article pour ne pas alourdir les énoncées. Elle n'est pas indispensable, cependant les unicités s'expriment alors aux éléments inversibles près. Un élément a d'un anneau factoriel s'écrit :

$a =u \prod_{i\in I}p_iˆ{v_{p_i}(a)}$

La fonction de A dans N, la totalité des entiers naturels, qui à a associe v_{p_i} (a) se nomme une valuation p-adique. La valeur v_{p_i} (a) est aussi nommée ordre de multiplicité de p_i dans a.

Dans la suite de l'article A sert à désigner un anneau factoriel et (p_i) une telle famille d'éléments irréductibles (sauf mention explicite contraire).

Motivation

L'arithmétique dans l'anneau des entiers relatifs permet la démonstration de nombreux théorèmes. Les démonstrations utilisent le fait que cet anneau est euclidien par conséquent principal. Par contre, de nombreux anneaux ne le sont pas, par exemple celui des polynômes à cœfficients dans les entiers relatifs ou encore les polynômes en plusieurs indéterminées sur un corps commutatif.

Ce dernier exemple est important, les variétés algébriques sont définies comme les racines d'un parfait de polynômes à plusieurs variables. Ainsi la sphère réelle est définie comme les racines communes des polynômes à trois indéterminées multiples de X² + Y² + Z² - 1. L'anneau des fonctions polynomiales définies sur la sphère n'est ni euclidien ni principal. Par contre, il est factoriel.

Sur un anneau factoriel, certains théorèmes fondamentaux des anneaux principaux restent vrais. Ainsi, le lemme d'Euclide, les propriétés des plus petits communs multiples et des plus grands communs diviseur ou encore le théorème essentiel de l'arithmétique restent valables (ce dernier est vérifié par définition).

Tous ne s'appliquent plus, ainsi un parfait premier n'est pas forcément maximal. Dans Z[X], l'anneau des polynômes à cœfficients dans Z, l'anneau des entiers relatifs, 2Z[X] n'est pas maximal et Z[X] / 2Z[X] n'est pas un corps car la classe de X n'est pas inversible. L'identité de Bézout n'est pas forcément vérifiée, dans Z[X] les éléments 2 et X n'ont pas de facteur commun, néenmoins l'idéal génèré par 2 et X n'est pas l'anneau tout entier.

Exemples et contre-exemples

L'anneau Z est un exemple simple d'anneau factoriel. Un autre exemple est l'anneau de Gauss Z[i] des complexes s'écrivant sous la forme a + ib où a et b sont des entiers relatifs.
Si K est un corps alors la totalité K[X] des polynômes à cœfficient dans K est un anneau factoriel, mais aussi K[X₁, X₂, ..., X_n]. D'une façon plus générale, dès que A est factoriel, il en est de même de A[X].
On démontre que tout anneau principal (à plus forte raison tout anneau euclidien) est aussi factoriel
Le contre-exemple le plus célèbre est l'anneau non-factoriel $\mathbb Z[i\sqrt 3]$ dans lequel on trouve deux décompositions différentes de 4 : $4 = 2 \times 2 = (1 + i\sqrt{3})(1 - i\sqrt{3})$ . Propriété qui donna l'occasion à Leonhard Euler de présenter une démonstration fausse du dernier théorème de Fermat pour n = 3 (Algebra 1770). Pour pallier cette difficulté, la méthode la plus simple est d'utiliser les entiers d'Eisenstein. La configuration générale d'une situation de cette nature est étudiée dans l'article sur l'entier quadratique. Pour trouver une solution particulièrement générale à cette difficulté Ernst Kummer crée des nombres idéaux, désormais formalisé par les travaux de Richard Dedekind à travers le concept d'anneau de Dedekind.
Un contre-exemple "géométrique" est celui du quotient de K[X, Y, Z] par l'idéal génèré par $X 2 - Y Z$ .

Soit p l'application de passage au quotient. $p (X 2)$ admet deux décompositions différentes en facteurs irréductibles : on a $p (X 2) = p (X) p (X)$ mais également $p (X 2) = p (Y) p (Z)$

Propriétés

Premières propriétés

Un anneau commutatif unitaire et intègre est factoriel si et uniquement s'il vérifie les deux propriétés suivantes :

(1) Toute suite d'idéaux principaux croissantes est stationnaire à partir d'un certain rang.

(2) Tout parfait génèré par un élément irréductible est premier. ^[1]

Cette caractéristique est quelquefois plus simple pour établir le caractère factoriel d'un anneau. La proposition suivante en est un exemple :

Tout anneau principal est factoriel.

En effet, un anneau principal est nœthérien, la première propriété est ainsi vérifiée. De plus si p est irréductible, l'idéal des multiples de p est premier et maximal. Ces propriétés sont démontrées dans l'article Anneau principal.

Tout anneau factoriel est totalement clos.

Comme un anneau factoriel A est commutatif unitaire intègre, il est envisageable de considérer son corps des fractions. Un élément de K est dit entier sur A si son polynôme minimal est à cœfficients dans A. L'article Polynôme minimal d'un nombre algébrique montre que la totalité B des entiers algébriques de K sur A forme un anneau. Si B est égal à A, alors A est dit totalement clos. La démonstration est semblable à celle présentée dans l'article Anneau principal.

Soit π est un élément irréductible de A, si π divise le produit de deux éléments a et b, alors il divise soit a soit b.

Ce résultat est connu sous le nom de lemme d'Euclide ou quelquefois lemme de Gauss. Il est la conséquence directe de l'unicité de la décomposition de a. b en facteurs irréductibles.

Démonstration

Un anneau commutatif unitaire et intègre est factoriel s'il vérifie les deux propriétés suivantes :

(1) Toute suite d'idéaux principaux croissantes est stationnaire à partir d'un certain rang.

(2) Tout parfait génèré par un élément irréductible est premier.

En vue de montrer cette implication, une décomposition de la démonstration est utile. Soient A un anneau vérifiant les hypothèses de la première définition et a un élément de A non nul.

Il existe un élément irréductible qui divise a si a n'est pas inversible :

Si a est irréductible la proposition est démontrée, sinon on construit par récurrence une suite (a_n) par récurrence de la manière suivante, a₀ est égal à a, supposons la suite définie jusqu'à l'ordre n – 1, si a_{n - 1} est irréductible alors a_n est égal à a_{n - 1}, sinon a_n est un diviseur strict de a_{n - 1}. L'élément b de A est dit diviseur strict de a_{n - 1} s'il n'est pas inversible et s'il existe un élément c de A non inversible tel que b. c soit égal à a_{n - 1}.

La suite des idéaux principaux (a_nA) est croissante, la première partie de la définition indique qu'elle est stationnaire à partir d'un certain rang, noté ici m. Le fait que la suite soit stationnaire montre que a_m est irréductible. Par construction, il divise a.

Il existe un élément inversible u est une suite finie p₁, …, p_n d'éléments irréductibles de l'anneau tel que :

$a = u p_1\cdots p_n\ ;$

Si a est irréductible ou inversible, la proposition est évidente. Sinon le résultat précédent montre l'existence d'un élément irréductible p₁ et d'un élément u₁ tel que a = p₁. u₁. Si u₁ est inversible alors la proposition est démontrée, sinon il existe un élément p₂ irréductible et un élément u₂ tel que a = p₁. p₂. u₁. En réitérant le raisonnement on trouve soit un élément u_n inversible et la proposition est démontrée soit une suite illimitée (u_i). La suite des idéaux (u_iA) est alors strictement croissante, ce qui est impossible. Cette impossibilité démontre la proposition.

La décomposition en facteurs irréductibles est unique :

On suppose l'existence de deux décompositions :

$a = u p_1\cdots p_n= v q_1\cdots q_m \;$

Montrons la proposition par récurrence sur n. Si n est égal à zéro, alors a est inversible, m est aussi égal à zéro et la proposition est démontrée.

Supposons la proposition démontrée à l'ordre n – 1, et montrons l'à l'ordre n. L'élément p_n divise le produit vq₁ …q_m, on en déduit que l'idéal premier p_nA contient vq₁ …q_m. Comme l'idéal est premier et que v est inversible, il existe un élément k tel que q^k est élément de l'idéal et q _k est un multiple de p_n. Comme l'élément q _k est irréductible, il existe un élément inversible w_n tel que p_n = w_n. q _k.

L'égalité suivante et l'hypothèse de récurrence permettent de conclure :

$\frac a{p_n} = u\prod_{i=1}ˆn p_i = v.w_nˆ{-1}\prod_{j=1\; j\neq k}ˆm q_j$

Si l'anneau est factoriel, il vérifie les propriétés (1) et (2) :

Soit σ la fonction de A – {0} dans N la totalité des entiers naturels qui à a associe le nombre de facteurs non inversibles dans la décomposition en facteurs irréductibles de a. L'unicité de la décomposition dans un anneau factoriel montre que la fonction σ est bien définie.

Soit a et b deux éléments non nuls de A. L'unicité de la décomposition montre aussi que σ (a. b) = σ (a) + σ (b). Ainsi si c divise strictement a, alors σ (a) est strictement plus grand que σ (c).

Toute suite d'idéaux principaux croissante est stationnaire :

Soit (a_nA) une suite d'idéaux principaux croissante. Si la suite des (a_n) est constante égal à zéro, la suite est stationnaire. Sinon, quitte à réindexer la suite, supposons que a₁ ne soit pas nul. Dire que l'idéal a_{n + 1}A contient strictement l'idéal a_nA veut dire que a_{n + 1} divise strictement a_nA. On en déduit que la suite (a_nA) n'est strictement croissante qu'un nombre de fois inférieur ou égal à σ (a₁) ce qui montre que la suite est stationnaire au bout d'un certain rang.

Soit p un élément irréductible de A, l'idéal pA est premier :

Soit a et b deux éléments de A tel que ab est élément de pA. Alors ab est un multiple de p, la décomposition en facteurs irréductibles de ab contient obligatoirement p à un facteur inversible près. En conséquence soit la décomposition de a soit celle de b contient p, à un facteur inversible près. Ce qui montre que soit a soit b est élément de l'idéal pA. Cette propriété traduit le fait que l'idéal est premier et termine la démonstration.

Diviseur et multiple communs

Soit (a_n) une suite d'éléments de A, le plus grand commun diviseur de la suite est le produit de l'ensemble des facteurs p_i présents dans la décomposition en facteur irréductible de chaque a_n avec le plus petit ordre de multiplicité trouvée dans la décomposition des a_n.

Le plus petit commun multiple de la famille (a_n), s'il existe, est le produit des facteurs p_i présent dans une au moins des décompositions en facteurs irréductibles d'un élément a_n avec le plus grand ordre de multiplicité. Si la famille des indices est finie, le plus petit commun multiple existe toujours.

Une famille d'éléments de A est dite première entre elle si et uniquement si le plus grand diviseur commun à la famille est égal à un. Dans ce cas, les éléments de la famille sont dit premiers entre eux dans leur ensemble.

Ces définitions généralisent les notions de plus petit commun multiple et plus grand commun diviseur. Dans ce contexte, certaines des propriétés vraies sur un anneau principal s'appliquent toujours, d'autres non. La relation d'ordre utilisée ici est celle induite par l'inclusion des idéaux. L'élément a est dit'plus petit qu'un élément b si et uniquement si l'idéal génèré par a contient l'idéal génèré par b.

Soient (a_n) une famille d'éléments de A et b un élément de a, la relation suivante est vérifiée :

$\text{pgcd} (b\cdot a_n)=b \cdot\text{pgcd} (a_n)\;$

Soient (a_n) une famille finie d'éléments de A et b un élément de a, la relation suivante est vérifiée :

$\text{ppcm} (b\cdot a_n)=b \cdot\text{ppcm} (a_n)\;$

Soient (a_n) une famille finie d'éléments de A premiers entre eux deux à deux, la relation suivante est vérifiée :

$\text{ppcm} (a_n)= \prod_n a_n\;$

Soient a et b deux éléments de A, la propriété suivante est vérifiée, si G permet de désigner le groupe des unités :

$\exists u \in G\quad a\cdot b = u\cdot \text{ppcm} (a,b)\cdot \text{pgcd} (a,b)\;$

Soit (a_n) une famille d'éléments de A, le plus petit parfait principal contenant tous les a_n est l'idéal génèré par le plus grand commun diviseur de la famille (a_n).

En effet, il suffit de remarquer que tout élément de l'idéal génèré par la famille est multiple du plus grand commun diviseur et si un élément c de A est plus grand que le plus grand commun diviseur, alors il existe un élément a_i de la famille qui n'est pas multiple de c. Le plus petit parfait principal contenant l'ensemble des a_n n'est pas obligatoirement l'idéal génèré par la famille, car cet parfait n'est pas obligatoirement principal. Ainsi dans Z[X] l'idéal génèré par 2 et X est l'idéal des polynômes admettant une constante multiple de deux, le plus petit parfait principal le contenant est l'idéal entier. Dans un anneau principal, les deux idéaux sont confondus. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Bachet-Bézout.

Soit (a_n) une famille d'éléments de A admettant un plus petit commun multiple, l'intersection des idéaux génèrés par la famille (a_n) est l'idéal principal génèré par le plus petit commun multiple.

Si A est quotienté par la relation d'équivalence R d'association définie dans le paragraphe Définitions, alors la totalité A/R munis des opérateurs pgcd et ppcm forme un treillis.

Anneau des polynômes

Les anneaux de polynômes représentent la première motivation historique pour les anneaux factoriels. Si les cœfficients sont choisi dans un corps commutatif, l'anneau dispose d'une division euclidienne, dans le cas opposé une autre arithmétique apparaît. En 1801 Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) publie un traité^[2] dans lequel il montre que l'anneau des polynômes à cœfficients entiers possède un propriété qui se traduit, en terme moderne, par le fait que cet anneau est factoriel. Une présentation moins générale est proposée dans l'article lemme de Gauss.

Dans ce paragraphe A sert à désigner un anneau factoriel et K son corps des fractions. Il est indispensable pour étudier les polynômes à cœfficients dans un anneau factoriel, d'expliciter quelques définitions :

Un polynôme de A[X] est dit primitif si et uniquement si les cœfficients du polynôme sont premiers entre eux dans leur ensemble.

Le contenu d'un polynôme P à cœfficients dans K, s'il existe, est un élément a de K tel qu'il existe un polynôme primitif Q de A[X] tel que aQ soit égal à P. Dans cet article, on note cont (P) le contenu de P. ^[3]

Le contenu d'un polynôme vérifie les propriétés suivantes :

Le contenu d'un polynôme est défini à un facteur inversible de A près.

Le contenu d'un polynôme P non nul à cœfficients dans K est toujours défini et il existe un polynôme primitif Q, à cœfficients dans A tel que :

$P = \text{cont}(P)\cdot Q\;$

Soit P et Q deux polynômes non nuls à cœfficients dans K, l'égalité suivante est vérifiée, à un facteur inversible près :

$\text{cont}(P\cdot Q) = \text{cont}(P)\cdot \text{cont}(Q)\;$ ^[4]

Le résultat suivant est connu sous le nom de lemme de Gauss dans le cas où A est l'anneau Z des entiers relatifs :

Soit P un polynôme non constant à cœfficients dans A. Le polynôme est irréductible dans A[X] si et uniquement s'il est primitif et irréductible dans K[X].

Ce lemme sert à démontrer le théorème suivant :

L'anneau A[X] est factoriel.

On en déduit immédiatement le corollaire suivant :

Soit n un entier strictement positif, l'anneau A[X₁, ..., X_n] est factoriel. ^[5]

Démonstrations

Le contenu d'un polynôme est défini à un facteur inversible de A près :

Soit P un polynôme de K[X], deux éléments de K a₁, a₂, deux éléments de K^* b₁, b₂ et deux polynômes primitifs de A[X] Q₁, Q₂ tel que :

$P[X] = \frac {a_1}{b_1}Q_1 = \frac{a_2}{b_2}Q_2\;$

On en déduit que a₁. b₂ est le pgcd des cœfficients du polynôme de A[X] a₁. b₂Q₁ et a₂. b₁ est le pgcd des cœfficients du polynôme de A[X] a₂. b₁Q₂. Ces deux polynômes sont égaux, ce qui montre que les pgcd changent d'un facteur multiplicatif de A inversible et démontre la proposition.

Le contenu d'un polynôme P non nul à cœfficients dans K est toujours défini et il existe un polynôme primitif Q, à cœfficients dans A tel que :

$P = \text{cont}(P)\cdot Q\;$

Notons le polynôme P de la manière suivante :

$P = \frac {a_n}{b_n}Xˆn + \frac {a_{n-1}}{b_{n-1}}Xˆ{n-1} + \cdots + \frac {a_0}{b_0}$

Les familles (a_i) et (b_i) sont choisies de telle sorte que, pour tout i élément de zéro, les n couples a_i et b_i sont constitués d'éléments premiers entre eux. Notons g le plus petit commun multiple de la famille (b_i). Il existe alors une famille (c_i) tel que pour tout i, g = b_i. c_i. On en déduit une nouvelle écriture du polynôme :

$P = \frac 1g \left(a_nc_nXˆn + a_{n-1}c_{n-1}Xˆ{n-1} + \cdots + a_0c_0\right)$

Soit h le plus grand commun diviseur de la famille (a_i. c_i). Il existe une famille (d_i) d'éléments de A premiers entre eux dans leur ensemble tel que pour tout i, a_i. c_i = d_ih et :

$P = \frac hg \left(d_nXˆn + d_{n-1}Xˆ{n-1} + \cdots + d_0\right)$

Ce qui montre la proposition.

Soit P et Q deux polynômes non nuls à cœfficients dans K, l'égalité suivante est vérifiée, à un facteur inversible près :

$\text{cont}(P\cdot Q) = \text{cont}(P)\cdot \text{cont}(Q)\;$

La proposition précédente montre qu'il suffit de montrer l'égalité pour deux polynômes à cœfficients dans A et primitif. Pour cela raisonnons par contraposée. Montrons que si P. Qn'est pas primitif alors soit P soit Q n'est pas primitif. Si P. Q n'est pas primitif, il existe un élément irréductible p qui divise chacun des cœfficients. Soit J un parfait maximal contenant p et φ le morphisme canonique de l'anneau A[X] dans A / pA[X]. Par hypothèse p divise chacun des cœfficients de P. Q, on en déduit que φ (P. Q) égal à φ (P). φ (Q) est nul. Comme A / pA est un corps, soit φ (P), soit φ (Q) est nul, ce qui revient à dire que p divise le contenu de P ou de Q. La contraposée indique que si P et Q sont primitifs, alors P. Q l'est aussi.

Soit P un polynôme non constant à cœfficients dans A. Le polynôme est irréductible dans A[X] si et uniquement s'il est primitif et irréductible dans K[X] :

Supposons P irréductible, il est envisageable d'écrire ce polynôme sous forme d'un produit d'un polynôme constant égal à son contenu et d'un polynôme primitif. Ceci montre que son contenu est un polynôme inversible par conséquent de degré zéro et égal à un élément inversible ce qui veut dire que le polynôme est primitif.

Montrons qu'un polynôme P primitif et non constant à cœfficients dans A est décomposable dans K[X] si et uniquement s'il est décomposable dans A[X]. Si P est décomposable dans K alors il existe deux polynômes B et C de degré supérieur ou égal à un ainsi qu'à cœfficients dans K tel que P = B. C. Une proposition précédente montre l'existence de deux polynômes primitifs Q et R tel que :

$P = \text{cont}(B C)\cdot QR = \text{cont}(P)\cdot QR=QR\;$

Réciproquement, si le polynôme est primitif et décomposable dans A[X] alors la décomposition comporte deux facteurs de degré supérieur ou égal à un et il est décomposable dans K[X].

L'anneau A[X] est factoriel :

La méthode utilisée consiste à montrer que toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire à partir d'un certain rang et que tout parfait génèré par un polynôme irréductible est premier.

Une suite croissante d'idéaux principaux génèrés par P_n est stationnaire à partir d'un certain rang.

Soit (c_n) la suite des contenus des polynômes P_n. Comme la suite des idéaux principaux génèrés par P_n est croissante, la suite des idéaux de A génèré ensuite (c_n) l'est aussi. Elle est par conséquent stationnaire car A est factoriel.

Notons Q _n le polynôme primitif qui vérifie l'égalité :

$\forall n \in \mathbb N \quad P_n = c_n Q_n\;$

Montrons que la suite (Q _n) est aussi stationnaire. Si m est plus grand que n alors P_m divise P_n, on en déduit que la suite des degrés de P_n et par conséquent de Q_n est décroissante, elle est en conséquence stationnaire à partir d'un certain rang car toute suite décroissante d'entiers positifs est stationnaire à partir d'un certain rang.

Soit μ un entier tel que la suite des contenus et des degrés soit stationnaire à partir de μ. Montrons que la suite (Q _n) l'est aussi. Comme la suite des contenus est stationnaire, si n est plus grand que μ, Q _n divise Q _μ, comme ils sont l'ensemble des deux de même degré, ils sont proportionnels. Comme ils sont tous deux primitifs, ils sont égaux à un facteur inversible près.

Un parfait génèré par un polynôme irréductible est premier :

Soit P lun polynôme irréductible. L'objectif est de montrer que si P divise un produit Q. R il divise soit Q soit R, ce qui veut dire que l'idéal génèré par P est premier.

Si P est constant égal à p un élément irréductible de A, il divise le contenu des produits de Q et R et par conséquent le produit des contenus. Comme p est irréductible et que l'anneau A est factoriel p divise soit le contenu de Q soit celui de R, P divise par conséquent soit Q soit R.

Si P est primitif irréductible dans K[X] et non constant, soit Q soit R est un polynôme constant. Le contenu de ce polynôme constant divise celui de P qui est primitif, ce polynôme constant est par conséquent inversible dans A et le polynôme associé inversible dans A[X], ce qui termine la démonstration.

Soit n un entier strictement positif, l'anneau A[X₁, ..., X_n] est factoriel :

Montrons cette proposition par récurrence sur n le nombre d'indéterminées. Si n est égal à un ce théorème est l'expression de la dernière proposition.

Si le résultat est démontrée à l'ordre n - 1, l'anneau A[X₁, ..., X_{n - 1}] est factoriel. En conséquence l'anneau A[X₁, ..., X_{n - 1}][X_n] l'est aussi. L'isomorphisme d'anneau entre A[X₁, ..., X_{n - 1}][X_n] et A[X₁, ..., X_n] sert à conclure (cet isomorphisme est étudié dans l'article polynôme en plusieurs indéterminées) .

Notes et références

Notes

↑ La démonstration proposée s'inspire de celle donnée en page 66 du site Algèbre commutative par A. Chambert-Loir de l'Université de Rennes I
↑ Carl Friedrich Gauss Recherches arithmétiques traduction A. -C. -M. Poullet-Delisle Article 43, 1801 traduction 1807 reprit 1989 Editions Jacques Gabay
↑ On trouve ces deux définitions, par exemple sur le site Théorème de permanence de la factorialité (Gauss) par les mathématiques. net. Certains auteurs choisissent de définir seulement le contenu d'un polynôme à cœfficients dans A[X], par exemple p 73 Algèbre commutative par A. Chambert-Loir de l'Université de Rennes I
↑ La démonstration est inspirée de la page 74 du site Algèbre commutative par A. Chambert-Loir de l'Université de Rennes I
↑ Les deux dernières démonstrations s'inspirent de : Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions], V, §6 (éd. ang. p. 126-128)

Liens externes

(fr) Anneaux factoriels anneaux euclidiens par les mathématiques. net
(fr) Algèbre et théorie de Galois par P. Polo de l'Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
(fr) Algèbre commutative par A. Chambert-Loir de l'Université de Rennes I
(fr) Cours d'agrégation interne par C. Scarcini chap 2
(fr) Anneaux factoriels par D. J. Mercier IUFM de la Guadeloupe
(fr) Quelques anneaux spécifiques Site Bibmath. net 2000 - 2007

Références

(fr) Nicolas Bourbaki Eléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitre 8 : Dimension. Chapitre 9 : Anneaux locaux nœthériens complets Hermann 1983 (ISBN 2225787166)
(fr) Daniel Perrin, Géométrie algébrique. Une introduction [détail des éditions]
(fr) Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]
(fr) Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions]

Recherche sur Amazon (livres) :

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_factoriel.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.