Anneau

En algèbre générale, un anneau est une structure algébrique sur laquelle deux opérations satisfont certaines des propriétés de l'addition et la multiplication des nombres.

Aspect historique

L'étude des corps et des anneaux trouve son origine dans l'école allemande du XIX^e siècle. Elle est développée par les mathématiciens Kummer, Dedekind, Kronecker et Hilbert. Elle naît de l'étude des équations algébriques, des nombres algébriques et de la recherche d'une démonstration du grand théorème de Fermat. Elle conduira à un développement important de l'algèbre générale et de la géométrie algébrique.

Dans le X^e Supplément de sa seconde édition des Leçons sur la théorie des nombres de Dirichlet, en 1871, Dedekind considère, à côté de la notion de corps (Körper), l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques ; il introduira légèrement plus tard d'autres anneaux qu'il nomme ordres (Ordnung). Mais c'est David Hilbert qui emploie le terme d'anneau (Ring) pour définir ce qui est toujours à l'époque un anneau commutatif unitaire, dans son Rapport sur les nombres (Zahlbericht) de 1897 pour la Deutsche Mathematiker-Vereinigung^[1].

Définitions

Un anneau est un triplet (A, +, ∙) tel que :

A est un ensemble ;
+ est une loi de composition interne telle que (A, +) soit un groupe commutatif ; ce qui veut dire que
- la loi + est associative ;
- A contient au moins un élément : l'élément neutre pour la loi +, noté 0 ;
- tout élément a de A a un opposé, noté −a ;
- la loi + est commutative (a+b = b+a) ;
∙ est une loi de composition interne associative et distributive comparé à + ;

Depuis les années 1960, Nicolas Bourbaki^[2] et de nombreux auteurs^[3] imposent dans leur définition à un anneau d'être unifère (on dit aussi unitaire), c'est-à-dire que la loi associative. admet un élément neutre noté 1 ou $1 A$ qui vérifie :

1. x = x. 1 = x
Anneau unitaire : un anneau est dit unitaire si la loi ∙ dispose d'un élément neutre, noté 1.

En terminologie universitaire française^[4] et en terminologie anglaise^[5] les anneaux sont fréquemment reconnus par défaut comme unitaires. Dans le cas opposé, si la loi ∙ ne dispose pas d'élément neutre, on dit que A est un pseudo-anneau ou une algèbre associative. Cependant, comme les auteurs pour qui un anneau n'est pas obligatoirement unitaire restent nombreux, il convient d'une part de toujours s'assurer de la définition concrètement utilisée, et il n'est pas inutile d'ajouter l'adjectif "unitaire" même si ce serait redondant. Si A est un pseudo-anneau non unitaire, on peut construire un anneau unitaire A' qui contient A comme sous-anneau non unitaire^[6].

Les auteurs qui supposent les anneaux unitaires imposent aux sous-anneaux de contenir l'unité de l'anneau ainsi qu'aux morphismes d'anneaux : A $\to$ B, de transformer l'unité de A en l'unité de B. Cette définition (les anneaux sont supposés unitaires) est récente et n'était pas adoptée à l'origine.

Un morphisme d'anneaux est une application entre deux anneaux A et B, compatible avec les lois de ces anneaux, c'est-à-dire qui vérifie :

f (a+b) =f (a) +f (b)

f (a. b) =f (a). f (b)

Si on suppose dans la définition que les anneaux sont unitaires, l'application f doit transformer l'unité de l'anneau unitaire A en l'unité de B.

f (1 A) = 1 B

Si f est une bijection, on dit que f est un isomorphisme d'anneaux.

On dit que deux anneaux A et B sont isomorphes si il existe un isomorphisme de A sur B.

Opérations sur les éléments d'un anneau

Puissances dans un anneau

Soit n un entier naturel supérieur à 1, x un élément de l'anneau A, on note xⁿ pour désigner l'élément de A défini par récurrence à partir de :

x 1 = x

x n + 1 = x n . x

On a :

x m . x n = x m + n

Pour tout entier naturel non nul n, xⁿ résulte de n-1 associations de la seconde loi de composition interne associative ·, en utilisant n valeurs successives toutes identiques à x (l'ordre de ces compositions est sans importance car elles sont associatives)

x n = x . x .... x

Si l'anneau A est unitaire, on pose généralement $x 0 = 1 A$ .

Eléments permutables dans un anneau et anneaux commutatifs

Si xy=yx, on dit que x et y sont permutables et alors $(x y) n = x n . y n$ .

Anneau commutatif : un anneau est commutatif si sa seconde loi est aussi commutative, c'est-à-dire si tous ses éléments sont permutables.

Voir article détaillé : Anneau commutatif

Convention : Le terme «anneau» est fréquemment utilisé pour désigner un anneau commutatif unitaire. Il faut par conséquent prêter garde au contexte dans lequel ce terme est employé.

Multiplication par un entier relatif

Précisons tout de suite que cette multiplication ne fait pas partie de la structure de l'anneau, mais elle apparaît de façon naturelle pour tout anneau. Il s'agit tout simplement de la multiplication par un entier appliquée au groupe additif de l'anneau. L'élément na est défini par

si $<img class=$
si $n < 0,\ na = - |n|a$

De plus, cette loi externe est compatible avec la multiplication de l'anneau :

$\forall n \in \Z,\ \forall (a,b) \in A \times A,\ (na) \cdot b=a \cdot(nb)= n(a \cdot b)$

Cela confère alors à l'anneau une structure de $\Z$ -algèbre associative. Surtout, si l'anneau est unitaire, on peut multiplier son unité par tout entier, et cela définit une application de Z dans A. Il est clair, selon sa définition, que cette application est l'unique morphisme d'anneaux unitaires de Z vers A. On peut alors définir la caractéristique de l'anneau comme l'entier naturel n qui génère le noyau de ce morphisme. En effet, le noyau de ce morphisme est un parfait de Z et s'écrit alors nZ.

Cette structure additionnelle est particulièrement utilisée pour les différentes théories de cohomologie.

Formule du binôme

Voir Formule du binôme de Newton.

Cette formule est applicable à tout couple d'éléments permutables.

Elle se généralise à toute famille finie d'éléments permutables deux à deux : Formule du multinôme.

Exemples

La totalité des entiers relatifs, $\mathbb Z$ pourvu de l'addition (la loi +) et de la multiplication (la loi ∙) est un anneau commutatif unitaire.

La totalité des entiers congruents modulo un nombre entier donné p est un anneau commutatif unitaire pour la loi provenant la congruence ; il est noté $\mathbb Z/p\mathbb Z$ .

Article détaillé : Anneau Z/nZ.

Ainsi pour les lois + et * est un anneau à deux éléments. 0 correspond aux nombres pairs et 1 aux nombres impairs. On retrouve alors les résultats suivants :
- Un pair plus un pair est pair (0+0=0).
- Un impair plus un pair est impair (0+1=1+0=1).
- Un impair plus un impair est pair (1+1=0).
- Un pair fois un entier quelconque est pair (0*x=0).
- Un impair fois un impair est impair (1*1=1).

Un corps est un cas spécifique d'anneau (unitaire) pour lequel l'ensemble des éléments non nuls sont inversibles pour la loi (. ).
- En particulier, la totalité des nombres rationnels, $\mathbb Q$ , la totalité des nombres réels, $\mathbb R$ , la totalité des nombres complexes, $\mathbb C$ , pourvus de l'addition et de la multiplication usuelles sont des anneaux (unitaires) commutatifs.
- La totalité des nombres décimaux, $\mathbb D$ , pourvus de l'addition et de la multiplication usuelles est un anneau (unitaire) commutatif qui n'est pas un corps.
- La totalité des réels s'écrivant $a + b\sqrt{2}$ , où a et b sont des entiers relatifs, pourvu de l'addition et de la multiplication usuelles est un anneau commutatif, mais pas un corps.

Les endomorphismes d'un espace vectoriel (applications linéaires de l'espace vers lui-même) forment un anneau, avec l'addition de fonction pour la loi +, et la composition pour la loi ∙. L'identité est un élément neutre pour ∙, par conséquent c'est un anneau unitaire. Il n'est pas commutatif généralement. C'est une grande source de contre-exemples à des affirmations fausses sur les anneaux.
- D'une façon plus générale les endomorphismes d'un groupe abélien forment un anneau.
La totalité des matrices 2 × 2, à cœfficients réels, pourvu de l'addition et de la multiplication est aussi un anneau non commutatif unitaire, isomorphe à l'anneau des endomorphismes de l'espace vectoriel $\mathbb Rˆ2$ .

La totalité des polynômes à cœfficients dans un anneau commutatif est aussi un anneau commutatif.

La totalité des applications d'un ensemble X à valeurs dans un anneau, pourvu des lois héritées de l'anneau (c'est-à-dire (f+g) (x) =f (x) +g (x) et (f*g) (x) =f (x) *g (x) ) forme un anneau noté $A X$ .

Anneau nul

La totalité à un seul élément {0} pourvu des opérations 0+0=0 et 0.0=0 est un anneau, nommé anneau nul.

La notion de pseudo-anneau de carré nul est plus intéressante : on dit qu'un pseudo-anneau A est de carré nul^[7] si le produit de deux éléments de A est toujours nul. Si le pseudo-anneau est unitaire, il est alors réduit à 0 car pour tout élément x de A, on a : x=1. x=0. Tout groupe abélien (A, +) peut être pourvu d'une structure de pseudo-anneau nul en posant x. y=0.

Anneau opposé

L'anneau opposé A^op d'un anneau A possède le même groupe additif sous-jacent que A et sa multiplication est effectuée dans l'ordre opposé : si on note $\cdot_A$ et $\cdot_{Aˆ{op}}$ les multiplications respectives de A et A^op, on a

$a\cdot_{Aˆ{op}} b = b\cdot_A a$

Il est clair que si A est commutatif, A = A^op.

Éléments remarquables d'un anneau

Élément inversible : un élément a ∈ A d'un anneau unitaire est dit inversible quand il existe un élément b de l'anneau tels que

a∙b = b∙a = 1. On nomme quelquefois les éléments inversibles les éléments unités (ou simplement unités). On note la totalité des inversibles : A^*.

Voir article détaillé : Élément inversible

Les éléments inversibles de Z sont -1 et 1

Élément régulier : un élément a ∈ A est dit régulier à droite (resp. à gauche) si et uniquement si l'unique élément x de A tel que x∙a = 0 (resp. a∙x=0) est x = 0; on note la totalité des réguliers : A^×

Un élément inversible est obligatoirement régulier mais la réciproque est fausse.

Diviseur de zéro : un élément non nul a ∈ A est un diviseur de 0 à droite (resp. à gauche) s'il existe un élément b de A non nul et tel que b∙a = 0 (resp. a∙b = 0). Si un anneau commutatif est sans diviseur de 0, on dit qu'il est intègre.

La totalité des éléments réguliers et des diviseurs de zéro forment une partition de A\ {0}

Voir article détaillé : Diviseur de zéro

Élément nilpotent : un élément a ∈ A est dit nilpotent d'ordre n s'il existe un entier n non nul tel que aⁿ=0 et que pour tout k appartenant à {0;n-1} $aˆk\neq 0$ . Si un anneau est sans élément nilpotent, on dit qu'il est réduit.

Un élément nilpotent non nul est un diviseur de zéro.

2 est nilpotent dans l'ensemble des anneaux $\mathbb Z /2ˆn \mathbb Z$ où n≥2.

Si a est nilpotent (et l'anneau est unitaire), (1-a) est inversible

Élément central : un élément qui commute (pour la multiplication) avec tout autre élément de A.

Élément idempotent ou projecteur : un élément a ∈ A est nommé projecteur ou idempotent quand a∙a = a² = a.

Toute projection sur un sous-espace vectoriel est un projecteur dans l'anneau des endomorphismes décrit ci-dessus.

Diviseur : si a ∈ A est non nul, et d ∈ A. On dit que d est un diviseur d'a à droite (resp. à gauche) si et uniquement s'il existe b ∈ A tel que a = b∙d (resp. a = d∙b). Si l'anneau est commutatif, on parle simplement de diviseur.

Divisibilité dans un anneau commutatif

Éléments associés : dans un anneau commutatif unitaire, deux éléments a et b sont associés si il existe un élément inversible u tel que a = u∙b, ce qui équivaut, si l'anneau est intègre, à : a divise b et b divise a.

Élément irréductible : Dans un anneau commutatif unitaire, un élément a ∈ A non inversible est irréductible si et uniquement si ses seuls diviseurs dans A sont les éléments inversibles u ou les éléments s'écrivant a∙u (éléments associés à u).

Élément premier : Dans un anneau commutatif unitaire, un élément p ∈ A est dit premier si, pour tous éléments a et b de A, si p divise a∙b et si p ne divise pas a alors p divise b

Dans un anneau commutatif unitaire intègre, un élément premier est irréductible, mais la réciproque n'est pas forcément vraie.

Élément extrémal : Dans un anneau commutatif unitaire, un élément non inversible p ∈ A est dit extrémal si tout élément a de A, non divisible par p, est étranger avec p, c'est-à-dire qu'il existe deux éléments de A : u et v, tels que au+pv=1. En termes d'idéaux (voir plus loin), cela veut dire que l'idéal des multiples de p : (p) est un idéal maximal de A (ce qui équivaut à l'importante propriété : "A / (p) est un corps". )

Dans un anneau commutatif unitaire intègre, un élément maximal est premier, mais la réciproque n'est pas forcément vraie.

Éléments premiers entre eux : dans un anneau commutatif unitaire intègre, deux éléments a et b sont premiers entre eux si et uniquement si, pour tout d de A, si d divise a et d divise b alors d est un élément inversible.

Anneaux remarquables

Anneaux de Boole

Un anneau de Boole, noté $\mathcal B$ , est un anneau unitaire dans lequel tout élément est idempotent pour la multiplication i. e. $\ \forall x \in \mathcal B,\ x.x = x$

Quelques propriétés des anneaux de Boole :

$\mathcal B$ est de caractéristique deux i. e. $\ \forall x \in \mathcal B,\ 2x = x + x = 0$

$\mathcal B$ est un anneau commutatif : $\ \forall (x,y) \in \mathcal B \times \mathcal B,\ x.y (x+y) = 0$

Si $\mathcal B$ est intègre, soit il est réduit à l'anneau nul soit il est isomorphe au corps $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$ des entiers modulo 2.

Si $\mathcal B$ n'est pas intègre, il possède au moins quatre éléments.

Tous les anneaux de Boole à quatre éléments sont isomorphes.

Tout sous-anneau de Boole est un anneau de Boole.

Tout anneau de Boole est un anneau régulier de Von Neumann i. e. $\ \forall a \in \mathcal B, \ \exists x\in \mathcal B / a.x = a$

Exemple : la totalité des parties $\mathcal{P}(E)$ d'un ensemble non vide $\ E$ pourvu de la différence symétrique reconnue comme addition i. e. $X + Y = (X \cup Y) - (X \cap Y)$ et de l'intersection reconnue comme multiplication i. e. $X \cdot Y = X \cap Y$ est un anneau de Boole.

Anneaux intègres, réduits, factoriels et euclidiens

Anneau intègre : anneau dans lequel tout élément non nul est régulier i. e. qu'aucun élément n'est un diviseur de zéro. Par définition, tout anneau intègre est unitaire et/ou commutatif.

Article détaillé : Anneau intègre.

Anneau réduit : un anneau est dit réduit si et uniquement si son élément nul est l'unique élément nilpotent.

Exemple : $\mathbb Z / 6 \mathbb Z$ est un anneau réduit mais non intègre car 2 et 3 sont des diviseurs de zéro dans cet anneau.

Corps : un corps est un anneau unitaire dont l'ensemble des éléments non nuls sont inversibles.

Article détaillé : corps (mathématiques) .

Tout anneau intègre fini est obligatoirement un corps.

- Corps des fractions d'un anneau intègre

Article détaillé : Corps des fractions.

Un anneau commutatif unitaire intègre (ou domaine d'intégrité) est presque un corps mais certains éléments ne sont pas forcément inversibles. On démontre qu'on peut plonger tout anneau commutatif intègre dans un corps nommé corps des fractions de A.

Remarque : il n'est pas indispensable que l'anneau soit unitaire, car l'élément neutre apparaît de toute façon dans la construction du corps des fractions.

Anneau factoriel : anneau commutatif unitaire intègre dans lequel l'ensemble des éléments se décomposent de manière unique (aux inversibles près) en produit d'éléments irréductibles.

plus précisément pour tout a de A, il existe n éléments irréductibles

p 1

p 2

, ...,

p n

tels que

a = p 1 p 2 ... p n

. Cette décomposition est unique à l'ordre des

p i

près et au produit par des éléments inversibles près.

Article détaillé : Anneau factoriel.

Anneau euclidien : anneau commutatif unitaire intègre dans lequel on peut définir une division euclidienne.

Plus exactement, il existe une application v (appelé stathme euclidien) de A\{0} dans N telle que pour tout a et b de A, b non nul, il existe un couple (q, r) de A² tel que a = bq + r avec r nul ou v (r) < v(b)

Article détaillé : Anneau euclidien.

$\mathbb Z[i]$ est un anneau euclidien dans lequel le couple (q, r) n'est pas unique

L'anneau $\mathbb Z$ des entiers relatifs est un anneau euclidien pour v = valeur absolue

Si $\mathbb K$ est un corps commutatif, l'anneau $\mathbb K[X]$ est un anneau euclidien pour v = degré du polynôme.

Sous-anneaux

Une partie B d'un anneau A est un sous-anneau de (A, +, . ) si :

(B, +) est un sous-groupe de (A, +)
B est stable pour la loi.
S'il est requis que les anneaux soient unitaires (cela dépendant de la définition utilisée), alors le sous anneau doit lui être aussi unitaire et son 1 doit provenir du 1 de l'anneau d'origine ( $1 A = 1 B$ ), ce qui équivaut à $1_A\in B$ .

Un sous-anneau B est un anneau pour les opérations + et . restreintes à B.

Exemples

Dans le cas unitaire

Dans l'anneau commutatif (unitaire) Z, 2 Z est un parfait, qui n'a pas d'élément unité, ce n'est par conséquent pas un anneau et toujours moins un sous-anneau de Z.
Dans la totalité des matrices carrées $M 2$ (à cœfficients dans R par exemple), anneau non-commutatif unitaire, la totalité des matrices de la forme :

$\begin{bmatrix} x&0\\ 0&0 \end{bmatrix} (x\in R)$ est un anneau unitaire dont l'élément neutre pour la multiplication $\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$ est différent de la matrice identité $\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}$ Ce n'est par conséquent pas un sous-anneau de

M 2

, ni de l'anneau des matrices diagonales.

Dans le cas non-unitaire

2 Z est cette fois-ci un (pseudo-) anneau et c'est bien un sous anneau de Z.
$A=\Z ˆ {2}$ est un anneau unitaire, et la totalité B des couples (0 ; n) ayant la première composante nulle est un sous anneau qui a la particularité d'être unitaire mais de ne pas avoir la même unité que l'anneau $A=\Z ˆ 2$ . Ce dernier a $1 A = (1;1)$ comme unité et le sous anneau a pour unité $1 B = (0;1)$ .

Construction de sous-anneaux

Éléments entiers sur un sous-anneau B : dans un anneau commutatif unitaire intègre A contenant un sous-anneau B, un élément x ∈ A est entier sur B si et uniquement si x est solution d'une équation P (x) = 0 où P est un polynôme unitaire à cœfficient dans B.

L'anneau Z des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau Q des rationnels. Les seuls éléments de Q entiers sur Z sont les entiers relatifs.

L'anneau Z des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau Q[i] des complexes s'écrivant a + ib, a et b étant des rationnels. Les éléments de Q[i] entiers sur Z sont les complexes s'écrivant a + ib, a et b étant des entiers relatifs.

Fermeture intégrale d'un sous-anneau B : dans un anneau commutatif unitaire intègre A contenant un sous-anneau B, la fermeture intégrale de B dans A est la totalité des éléments de A entiers sur B. C'est un sous-anneau de A contenant B comme sous-anneau.

Un anneau totalement clos est un anneau commutatif unitaire intègre égal à sa fermeture intégrale dans son corps des fractions.

L'anneau des entiers relatifs est totalement clos.

D'une façon plus générale : un anneau factoriel est totalement clos.

Le centre Z (A) d'un anneau A est par définition Z (A) ={x∈A / ∀y∈A, x. y=y. x}, c'est-à-dire la totalité des éléments qui commutent avec l'ensemble des autres pour la loi ". ". C'est un sous-anneau.

L'intersection de deux sous-anneaux d'un même anneau, est un sous-anneau.

L'image d'un anneau par un homomorphisme d'anneau est un sous-anneau de l'anneau d'arrivée. (Si les anneaux sont unitaires, on impose aux morphismes de transformer unité en unité. )

Cependant, la structure de sous-anneau (excepté le cas d'un anneau dans son corps des fractions) est moins riche en résultats que celle d'idéal ou de module sur un anneau.

Idéaux d'un anneau

Article détaillé : Idéal.

Plus intéressante que la structure de sous-anneau, la structure d'idéal ressemble à celle de sous-groupe distingué dans un groupe.

Un idéal I (à droite ou à gauche) est un sous-groupe additif de A vérifiant

pour tout x de I et tout a de A, ax ∈ I pour un parfait à droite
pour tout x de I et tout a de A, xa ∈ I pour un parfait à gauche

Un parfait à droite ainsi qu'à gauche est nommé idéal bilatère.

Exemples

{0} est un parfait bilatère de tout anneau, l'idéal nul.
A est un parfait bilatère de A.
Si a a un élément de l'anneau A, la totalité des multiples à droite de a (les éléments de la forme ax) est un parfait à droite de A. Il est noté (a) .
L'intersection de deux idéaux (resp. à gauche, resp. à droite) de A est un parfait de A (resp. à gauche, resp. à droite).

Anneaux quotients

Un idéal bilatère sert à créer un anneau quotient : le groupe quotient commutatif A/I peut être pourvu d'une multiplication associative et distributive comparé à l'addtion, et par conséquent d'une structure d'anneau.

Anneaux commutatifs définis par une propriété de leurs idéaux

Selon les propriétés des idéaux d'un anneau A, on distingue des familles d'anneaux spécifiques :

Anneau principal : anneau commutatif unitaire intègre dont l'ensemble des idéaux sont principaux.

Voir article détaillé : Anneau principal

Un anneau euclidien est principal

Un anneau principal est factoriel

Anneau nœthérien : anneau commutatif unitaire dont les idéaux sont génèrés par un nombre fini d'éléments

Voir article détaillé : Anneau nœthérien

Anneau artinien : anneau commutatif unitaire dont toute suite d'idéaux décroissante (pour l'inclusion) est stationnaire.

Voir article détaillé : Anneau artinien

Anneau local : anneau commutatif unitaire dans lequel il n'existe qu'un seul parfait maximal.

Anneau de Bézout : Anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tout parfait de type fini est principal

Anneau de Dedekind : Anneau nœthérien totalement clos dans lequel tout parfait premier non nul est maximal.

Voir article détaillé : Anneau de Dedekind

Modules sur un anneau

Article détaillé : Module sur un anneau.

Dérivation

Une dérivation d'un anneau A à valeurs dans un $A$ -module $M$ est une application additive de $A$ dans $M$ $\mathrm D : A \mapsto M$ vérifiant l'identité de Leibniz :

$\forall (a,b) \in A \times A,\ \mathrm{D}(a \cdot b) = a \cdot \mathrm{D}(b)+ \mathrm{D}(a)\cdot b$

Cette notion est surtout vérifiée par la dérivée d'une fonction (de variable réelle, par exemple) ; elle en est une généralisation utilisée en géométrie algébrique et en calcul différentiel sur les variétés (par exemple pour définir le crochet de Lie). Toute application de dérivation vérifie la formule de Leibniz.

Classification des anneaux remarquables

La théorie des anneaux étant une branche particulièrement riche de l'algèbre, il est complexe de se repérer dans la jungle des anneaux spécifiques. Le schéma ci-dessous donne une illustration partielle de leur hiérarchie - une flèche fait passer du général au spécifique.

On peut remarquer que l'anneau qui se détache de cette hiérarchie est l'anneau euclidien : c'est celui qui va posséder le plus de propriétés.

Sources

Références

↑ Jean Dieudonné (dir. ), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 [détail des éditions], vol. 1, p. 111-112, 201-203, et D. Hilbert, Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der DMV 4, (1897), p. 175-546, §31.
↑ N. Bourbaki, Algèbre, chapitre 1
↑ Serge Lang Algebra,
Nathan Jacobson Basic Algebra,
Michæl Artin Algebra,
Frank Anderson et Kent Fuller Rings and categories of modules,
Matsumara et Reid Commutative Ring Theory
↑ Bourbaki, Algèbre, chapitre 1 ; Ramis, Deschamp, Odoux, Cours de mathématiques spéciales
↑ voir wikipedia anglophone : en :Ring (mathematics)
↑ N. Bourbaki, Algèbre, chapitre 2 (ed. de 1970), Appendice
↑ N. Bourbaki, Algèbre, chapitre I, page 97

S. Mac Lane & G. Birkhoff ; Algèbre [détail des éditions]

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Eléments permutables dans un anneau et anneaux commutatifs

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Divisibilité dans un anneau commutatif

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Anneaux de Boole

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Exemples

Dans le cas unitaire

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Anneaux quotients

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