Anneau

En algèbre générale, un anneau est une structure algébrique sur laquelle deux opérations satisfont certaines des propriétés de l'addition et la multiplication des nombres.



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  • Les éléments d'un anneau unitaire (A, +, *) qui admettent des symétriques pour la seconde loi *, sont appellés éléments inversibles de l'anneau A, ... (source : homeomath.imingo)

En algèbre générale, un anneau est une structure algébrique sur laquelle deux opérations satisfont certaines des propriétés de l'addition et la multiplication des nombres.

Aspect historique

Article détaillé : Théorie des anneaux.

L'étude des corps et des anneaux trouve son origine dans l'école allemande du XIXe siècle. Elle est développée par les mathématiciens Kummer, Dedekind, Kronecker et Hilbert. Elle naît de l'étude des équations algébriques, des nombres algébriques et de la recherche d'une démonstration du grand théorème de Fermat. Elle conduira à un développement important de l'algèbre générale et de la géométrie algébrique.

Dans le Xe Supplément de sa seconde édition des Leçons sur la théorie des nombres de Dirichlet, en 1871, Dedekind considère, à côté de la notion de corps (Körper), l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques ; il introduira légèrement plus tard d'autres anneaux qu'il nomme ordres (Ordnung). Mais c'est David Hilbert qui emploie le terme d'anneau (Ring) pour définir ce qui est toujours à l'époque un anneau commutatif unitaire, dans son Rapport sur les nombres (Zahlbericht) de 1897 pour la Deutsche Mathematiker-Vereinigung[1].

Définitions

Un anneau est un triplet (A, +, ∙) tel que :

Depuis les années 1960, Nicolas Bourbaki[2] et de nombreux auteurs[3] imposent dans leur définition à un anneau d'être unifère (on dit aussi unitaire), c'est-à-dire que la loi associative. admet un élément neutre noté 1 ou 1A qui vérifie :

En terminologie universitaire française[4] et en terminologie anglaise[5] les anneaux sont fréquemment reconnus par défaut comme unitaires. Dans le cas opposé, si la loi ne dispose pas d'élément neutre, on dit que A est un pseudo-anneau ou une algèbre associative. Cependant, comme les auteurs pour qui un anneau n'est pas obligatoirement unitaire restent nombreux, il convient d'une part de toujours s'assurer de la définition concrètement utilisée, et il n'est pas inutile d'ajouter l'adjectif "unitaire" même si ce serait redondant. Si A est un pseudo-anneau non unitaire, on peut construire un anneau unitaire A' qui contient A comme sous-anneau non unitaire[6].
Les auteurs qui supposent les anneaux unitaires imposent aux sous-anneaux de contenir l'unité de l'anneau ainsi qu'aux morphismes d'anneaux : A \to B, de transformer l'unité de A en l'unité de B. Cette définition (les anneaux sont supposés unitaires) est récente et n'était pas adoptée à l'origine.

Un morphisme d'anneaux est une application entre deux anneaux A et B, compatible avec les lois de ces anneaux, c'est-à-dire qui vérifie :

f (a+b) =f (a) +f (b)
f (a. b) =f (a). f (b)

Si on suppose dans la définition que les anneaux sont unitaires, l'application f doit transformer l'unité de l'anneau unitaire A en l'unité de B.

f (1A) = 1B

Si f est une bijection, on dit que f est un isomorphisme d'anneaux.

On dit que deux anneaux A et B sont isomorphes si il existe un isomorphisme de A sur B.

Opérations sur les éléments d'un anneau

Puissances dans un anneau

Soit n un entier naturel supérieur à 1, x un élément de l'anneau A, on note xn pour désigner l'élément de A défini par récurrence à partir de :

x1 = x et xn + 1 = xn. x.

On a :

xm. xn = xm + n.

Pour tout entier naturel non nul n, xn résulte de n-1 associations de la seconde loi de composition interne associative ·, en utilisant n valeurs successives toutes identiques à x (l'ordre de ces compositions est sans importance car elles sont associatives)

xn = x. x.... x.

Si l'anneau A est unitaire, on pose généralement x0 = 1A.

Eléments permutables dans un anneau et anneaux commutatifs

Si xy=yx, on dit que x et y sont permutables et alors (xy) n = xn. yn.

Voir article détaillé : Anneau commutatif
Convention : Le terme «anneau» est fréquemment utilisé pour désigner un anneau commutatif unitaire. Il faut par conséquent prêter garde au contexte dans lequel ce terme est employé.

Multiplication par un entier relatif

Précisons tout de suite que cette multiplication ne fait pas partie de la structure de l'anneau, mais elle apparaît de façon naturelle pour tout anneau. Il s'agit tout simplement de la multiplication par un entier appliquée au groupe additif de l'anneau. L'élément na est défini par

De plus, cette loi externe est compatible avec la multiplication de l'anneau :

\forall n \in \Z,\ \forall (a,b) \in A \times A,\ (na) \cdot b=a \cdot(nb)= n(a \cdot b)

Cela confère alors à l'anneau une structure de \Z-algèbre associative. Surtout, si l'anneau est unitaire, on peut multiplier son unité par tout entier, et cela définit une application de Z dans A. Il est clair, selon sa définition, que cette application est l'unique morphisme d'anneaux unitaires de Z vers A. On peut alors définir la caractéristique de l'anneau comme l'entier naturel n qui génère le noyau de ce morphisme. En effet, le noyau de ce morphisme est un parfait de Z et s'écrit alors nZ.

Cette structure additionnelle est particulièrement utilisée pour les différentes théories de cohomologie.

Formule du binôme

Voir Formule du binôme de Newton.

Cette formule est applicable à tout couple d'éléments permutables.

Elle se généralise à toute famille finie d'éléments permutables deux à deux : Formule du multinôme.

Exemples

Article détaillé : Anneau Z/nZ.

Anneau nul

La totalité à un seul élément {0} pourvu des opérations 0+0=0 et 0.0=0 est un anneau, nommé anneau nul.

La notion de pseudo-anneau de carré nul est plus intéressante : on dit qu'un pseudo-anneau A est de carré nul[7] si le produit de deux éléments de A est toujours nul. Si le pseudo-anneau est unitaire, il est alors réduit à 0 car pour tout élément x de A, on a : x=1. x=0. Tout groupe abélien (A, +) peut être pourvu d'une structure de pseudo-anneau nul en posant x. y=0.

Anneau opposé

L'anneau opposé Aop d'un anneau A possède le même groupe additif sous-jacent que A et sa multiplication est effectuée dans l'ordre opposé : si on note \cdot_A et \cdot_{Aˆ{op}} les multiplications respectives de A et Aop, on a

 a\cdot_{Aˆ{op}} b = b\cdot_A a

Il est clair que si A est commutatif, A = Aop.

Éléments remarquables d'un anneau

a∙b = b∙a = 1. On nomme quelquefois les éléments inversibles les éléments unités (ou simplement unités). On note la totalité des inversibles : A*.
Voir article détaillé : Élément inversible
Les éléments inversibles de Z sont -1 et 1
Un élément inversible est obligatoirement régulier mais la réciproque est fausse.

La totalité des éléments réguliers et des diviseurs de zéro forment une partition de A\ {0}

Voir article détaillé : Diviseur de zéro
Un élément nilpotent non nul est un diviseur de zéro.
2 est nilpotent dans l'ensemble des anneaux \mathbb Z /2ˆn \mathbb Z où n≥2.
Si a est nilpotent (et l'anneau est unitaire), (1-a) est inversible
Toute projection sur un sous-espace vectoriel est un projecteur dans l'anneau des endomorphismes décrit ci-dessus.

Divisibilité dans un anneau commutatif

Dans un anneau commutatif unitaire intègre, un élément premier est irréductible, mais la réciproque n'est pas forcément vraie.
Dans un anneau commutatif unitaire intègre, un élément maximal est premier, mais la réciproque n'est pas forcément vraie.

Anneaux remarquables

Anneaux de Boole

Un anneau de Boole, noté \mathcal B, est un anneau unitaire dans lequel tout élément est idempotent pour la multiplication i. e. \ \forall x \in \mathcal B,\ x.x = x

Quelques propriétés des anneaux de Boole :

\mathcal B est de caractéristique deux i. e. \ \forall x \in \mathcal B,\ 2x = x + x = 0
\mathcal B est un anneau commutatif : \ \forall (x,y) \in \mathcal B \times \mathcal B,\ x.y (x+y) = 0
Si \mathcal B est intègre, soit il est réduit à l'anneau nul soit il est isomorphe au corps \mathbb Z / 2 \mathbb Z des entiers modulo 2.
Si \mathcal B n'est pas intègre, il possède au moins quatre éléments.
Tous les anneaux de Boole à quatre éléments sont isomorphes.
Tout sous-anneau de Boole est un anneau de Boole.
Tout anneau de Boole est un anneau régulier de Von Neumann i. e. \ \forall a \in \mathcal B, \ \exists x\in \mathcal B   /  a.x = a

Exemple : la totalité des parties \mathcal{P}(E) d'un ensemble non vide \ E pourvu de la différence symétrique reconnue comme addition i. e. X + Y = (X \cup Y) - (X \cap Y) et de l'intersection reconnue comme multiplication i. e. X \cdot Y = X \cap Y est un anneau de Boole.

Anneaux intègres, réduits, factoriels et euclidiens

Article détaillé : Anneau intègre.
Exemple : \mathbb Z / 6 \mathbb Z est un anneau réduit mais non intègre car 2 et 3 sont des diviseurs de zéro dans cet anneau.
Article détaillé : corps (mathématiques) .
Tout anneau intègre fini est obligatoirement un corps.
Article détaillé : Corps des fractions.
Un anneau commutatif unitaire intègre (ou domaine d'intégrité) est presque un corps mais certains éléments ne sont pas forcément inversibles. On démontre qu'on peut plonger tout anneau commutatif intègre dans un corps nommé corps des fractions de A.
Remarque : il n'est pas indispensable que l'anneau soit unitaire, car l'élément neutre apparaît de toute façon dans la construction du corps des fractions.
plus précisément pour tout a de A, il existe n éléments irréductibles p1, p2, ..., pn tels que a = p1p2... pn. Cette décomposition est unique à l'ordre des pi près et au produit par des éléments inversibles près.
Article détaillé : Anneau factoriel.
Plus exactement, il existe une application v (appelé stathme euclidien) de A\{0} dans N telle que pour tout a et b de A, b non nul, il existe un couple (q, r) de A2 tel que a = bq + r avec r nul ou v (r) < v(b)
Article détaillé : Anneau euclidien.
\mathbb Z[i] est un anneau euclidien dans lequel le couple (q, r) n'est pas unique
L'anneau \mathbb Z des entiers relatifs est un anneau euclidien pour v = valeur absolue
Si \mathbb K est un corps commutatif, l'anneau \mathbb K[X] est un anneau euclidien pour v = degré du polynôme.

Sous-anneaux

Une partie B d'un anneau A est un sous-anneau de (A, +, . ) si :

Un sous-anneau B est un anneau pour les opérations + et . restreintes à B.

Exemples

Dans le cas unitaire

\begin{bmatrix} 
x&0\\
0&0
\end{bmatrix} (x\in R)
est un anneau unitaire dont l'élément neutre pour la multiplication \begin{bmatrix} 
1&0\\
0&0
\end{bmatrix}
est différent de la matrice identité \begin{bmatrix} 
1&0\\
0&1
\end{bmatrix}
Ce n'est par conséquent pas un sous-anneau de M2, ni de l'anneau des matrices diagonales.

Dans le cas non-unitaire

Construction de sous-anneaux

L'anneau Z des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau Q des rationnels. Les seuls éléments de Q entiers sur Z sont les entiers relatifs.
L'anneau Z des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau Q[i] des complexes s'écrivant a + ib, a et b étant des rationnels. Les éléments de Q[i] entiers sur Z sont les complexes s'écrivant a + ib, a et b étant des entiers relatifs.

Un anneau totalement clos est un anneau commutatif unitaire intègre égal à sa fermeture intégrale dans son corps des fractions.

L'anneau des entiers relatifs est totalement clos.
D'une façon plus générale : un anneau factoriel est totalement clos.

Cependant, la structure de sous-anneau (excepté le cas d'un anneau dans son corps des fractions) est moins riche en résultats que celle d'idéal ou de module sur un anneau.

Idéaux d'un anneau

Article détaillé : Idéal.

Plus intéressante que la structure de sous-anneau, la structure d'idéal ressemble à celle de sous-groupe distingué dans un groupe.

Un idéal I (à droite ou à gauche) est un sous-groupe additif de A vérifiant

Un parfait à droite ainsi qu'à gauche est nommé idéal bilatère.

Exemples

Anneaux quotients

Un idéal bilatère sert à créer un anneau quotient : le groupe quotient commutatif A/I peut être pourvu d'une multiplication associative et distributive comparé à l'addtion, et par conséquent d'une structure d'anneau.

Anneaux commutatifs définis par une propriété de leurs idéaux

Selon les propriétés des idéaux d'un anneau A, on distingue des familles d'anneaux spécifiques :

Voir article détaillé : Anneau principal
Un anneau euclidien est principal
Un anneau principal est factoriel
Voir article détaillé : Anneau nœthérien
Voir article détaillé : Anneau artinien
Voir article détaillé : Anneau de Dedekind

Modules sur un anneau

Article détaillé : Module sur un anneau.

Dérivation

Une dérivation d'un anneau A à valeurs dans un A-module M est une application additive de A dans M \mathrm D : A \mapsto M vérifiant l'identité de Leibniz :

\forall (a,b) \in A \times A,\ \mathrm{D}(a \cdot b) = a \cdot \mathrm{D}(b)+ \mathrm{D}(a)\cdot b

Cette notion est surtout vérifiée par la dérivée d'une fonction (de variable réelle, par exemple) ; elle en est une généralisation utilisée en géométrie algébrique et en calcul différentiel sur les variétés (par exemple pour définir le crochet de Lie). Toute application de dérivation vérifie la formule de Leibniz.

Classification des anneaux remarquables

La théorie des anneaux étant une branche particulièrement riche de l'algèbre, il est complexe de se repérer dans la jungle des anneaux spécifiques. Le schéma ci-dessous donne une illustration partielle de leur hiérarchie - une flèche fait passer du général au spécifique.

On peut remarquer que l'anneau qui se détache de cette hiérarchie est l'anneau euclidien : c'est celui qui va posséder le plus de propriétés.

Classification des anneaux.png

Sources

Références

  1. Jean Dieudonné (dir. ), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 [détail des éditions], vol. 1, p. 111-112, 201-203, et D. Hilbert, Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der DMV 4, (1897), p. 175-546, §31.
  2. N. Bourbaki, Algèbre, chapitre 1
  3. Serge Lang Algebra,
    Nathan Jacobson Basic Algebra,
    Michæl Artin Algebra,
    Frank Anderson et Kent Fuller Rings and categories of modules,
    Matsumara et Reid Commutative Ring Theory
  4. Bourbaki, Algèbre, chapitre 1 ; Ramis, Deschamp, Odoux, Cours de mathématiques spéciales
  5. voir wikipedia anglophone : en :Ring (mathematics)
  6. N. Bourbaki, Algèbre, chapitre 2 (ed. de 1970), Appendice
  7. N. Bourbaki, Algèbre, chapitre I, page 97

S. Mac Lane & G. Birkhoff ; Algèbre [détail des éditions]

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