Algèbre géométrique

En histoire des mathématiques, l'algèbre géométrique est un terme utilisé par Paul Tannery pour décrire des techniques mathématiques utilisées par les grecs.



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Équation polynomiale - Géométrie

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  • Appliquer les méthodes de l'algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle à la... Déterminer le nombre de solutions d'un dispositif d'équations linéaires.... (source : prof.cchic)
  • les géomètres algébristes font avancer l'algèbre par la géométrie en étudiant en ... géométriques servant à représenter les racines des équations.... écrit un remarquable ouvrage d'algèbre «Triparty en la science des nombres»... (source : ymonka.free)
Paul Tannery est l'auteur de l'expression algèbre géométrique qu'il utilise pour décrire une branche des mathématiques grecques comme celle développée dans le Livre II des Éléments d'Euclide sur ce qui est désormais interprété comme des méthodes de résolution de problème du deuxième degré. Si le terme est désormais controversé pour les grecs, il s'applique toujours pour les mathématiques arabes.

En histoire des mathématiques, l'algèbre géométrique est un terme utilisé par Paul Tannery pour décrire des techniques mathématiques utilisées par les grecs[1]. Certaines identités algébriques peuvent être démontrées avec la géométrie euclidienne, c'est le cas pour les égalités définissant les règles d'addition et de multiplication des fractions, ou encore pour les identités remarquables les plus célèbres.

De manière plus particulièrement élaborée, la géométrie euclidienne est aussi utilisée comme une méthode servant à calculer des approximations de problèmes algébriques qu'on ne sait pas obligatoirement résoudre autrement. La civilisation arabe utilise cette approche pour trouver les solutions des équations du troisième degré qui apparaissent dans des problèmes d'astronomie, bien avant que des méthodes purement algébriques soient trouvées.

Depuis Paul Tannery, un historien des sciences du XIXe siècle, l'utilisation du terme algèbre géométrique a évolué. Il ne s'applique plus, à proprement parler, à la culture grecque, car elle ne connaît pas le concept de l'équation ou celui de l'inconnue. Par contre, ces techniques sont exploités et beaucoup développées par les mathématiciens arabes entre le VIIIe siècle et le XVe siècle, à l'origine du terme et du concept d'algèbre. Dans ce contexte le terme d'algèbre géométrique est utilisé à bon escient.

Le terme algèbre géométrique sert à désigner aussi une branche des mathématiques consistant à associer une géométrie à une structure d'algèbre, principalement avec un produit vectoriel. Cet aspect est traité dans l'article Algèbre géométrique (structure) . Le terme géométrie algébrique sert à désigner une branche des mathématiques particulièrement différente, constituée d'un savoir principalement acquis au XIXe siècle et XXe siècle et toujours d'actualité en recherche mathématiques.

Enfin, l'approche opposée, consistant à utiliser des techniques algébriques pour résoudre des problèmes de géométrie, porte le nom de géométrie analytique.

Équation du premier degré

Fraction

Article détaillé : Fraction (mathématiques) .

L'outil essentiel pour la résolution d'une équation du premier degré est la fraction. Son maniement peut se comprendre avec idées issues de l'algèbre géométrique.

Un exemple est donné par la multiplication du numérateur et du dénominateur d'une fraction par un même nombre. Cette opération ne modifie pas la valeur de la fraction. Ainsi, 2/3 est aussi égal à (2x2) / (2x3), c'est-à-dire 4/6. Une manière de s'en rendre compte est de considérer un rectangle d'aire égale à 1. On divise ce rectangle en trois partie identiques avec deux segments verticaux, comme indiqué sur le membre de gauche de la figure ci-dessous :

Fraction2 3.svg

La zone bleue du membre de gauche correspond à deux surfaces d'aires 1/3, elle est d'aire égale à 2/3. Si le rectangle d'origine est en plus coupé en deux parties identiques par un segment horizontal, il est désormais divisé en 6 parties de même aire. La zone bleue est désormais constituée de 4 petits rectangles d'aire 1/6, son aire est égale à 4/6. L'aire de la zone bleue est égale à la fois à 2/3 ainsi qu'à 4/6, ce qui montre l'égalité recherchée.

Une règle d'algèbre, traitant du comportement d'une fraction est établie avec un raisonnement géométrique. Cette démarche, visant à démontrer des résultats algébriques avec raisonnements géométriques, caractérise l'algèbre géométrique.

L'article détaillé montre comment l'ensemble des différentes règles régissant le calcul des fractions, peuvent se montrer avec raisonnements analogues.

Proportionnalité

Article détaillé : Théorème de Thalès.
Le théorème de Thalès sert à généraliser la démonstration précédente.

Le raisonnement précédent possède une limite, il ne s'applique que pour une fraction d'entier, multipliée au numérateur et dénominateur par un entier. L'usage de l'algèbre géométrique et une astuce légèrement différente sert à démontrer qu'une fraction b/c est égale à (a. b) / (a. c) si a, b, c sont trois nombres réels positifs tels que a et c soient non nuls.

Pour montrer ce résultat, on considère deux droites (noires sur la figure de droite) ayant comme intersection un unique point A. On définit les points B et C tels que la distance AB soit égale à b et AC à c. Les points B et C sont chacun sur une des droites, comme indiqué sur la figure. Le point D (resp. E) se situe sur la droite AB (resp. AC) et la distance AD (resp. Æ) est égale à a. b (resp. a. c). Le théorème de Thalès indique que les droites rouges sont parallèles et que :

\frac bc = \frac {a\cdot b}{a\cdot c}

Cette fois-ci, les valeurs a, b et c ne sont plus obligatoirement entières, cette démonstration correspond bien à une généralisation de la démarche précédente. D'autres résultats algébriques se démontrent à l'aide du même théorème. A titre d'exemple, si b, c, d et e sont quatre nombres réels strictement positifs, on obtient :

\frac bd = \frac ce \Rightarrow \frac bc = \frac de

Pour démontrer ce résultat, on utilise la même figure. Cette fois-ci, b sert à désigner AB, c sert à désigner AC, d AD et e Æ. L'égalité précédente est toujours une conséquence du même théorème.

Équation du premier degré

Article détaillé : Équation du premier degré.
Le théorème de Thalès peut être vu comme un outil de résolution d'une équation du premier degré.

L'équation du premier degré est la famille la plus simple d'équation. Elle sert à résoudre des questions comme : «Un homme meurt et laisse quatre fils et il fait, à un homme, une donation égale à la part d'un de ses fils ainsi qu'à un autre le quart de ce qui reste»

Ce problème est dit du premier degré car il se formalise de la manière suivante. Si x sert à désigner la fraction de l'héritage que reçoit un fils, l'héritage se décompose en 4. x correspondant à la part que reçoit les quatre fils réunion, x correspondant à la part que reçoit un homme et 1/4 (1 - x) correspond à la part que reçoit l'autre homme. La question s'écrit, la valeur 1 à droite sert à désigner 1 héritage :

(1)\quad 4x + x + \frac 14(1-x) = 1

Cette équation ne contient que des constantes et des termes correspondant à la multiplication de x par un nombre, on parle d'équation du premier degré. Le théorème de Thalès sert à résoudre cette question. La réponse géométrique est illustrée sur la figure de droite. On trace tout d'abord en rouge une droite qu'on munit d'une graduation. Elle représente le nombre d'héritages obtenue selon la valeur de x, la part d'un des fils. La droite bleue représente la part d'un des fils, elle est pourvue aussi d'une graduation, pas obligatoirement de même pas que la précédente. Si la part x est égale à 0, le reste correspondant à la part du deuxième homme correspond à 1/4, les droites bleue et rouge se coupent au point 1/4 pour la droite rouge et 0 pour la bleue.

Si x est égal à 1, on trouve 4 héritages pour les fils, 1 héritage pour le premier homme et 0 pour le second, soit 5. On trace alors une droite qui part du point de graduation 1 pour la droite bleue et qui intersecte la droite rouge au point de graduation 5.

On trace ensuite en vert, la droite parallèle au segment noir, et qui coupe la droite rouge au point de graduation 1. Le théorème de Thalès indique que l'intersection de la droite verte et de la bleu est à une distance de l'intersection des droites rouges et bleues égale à la valeur de x recherchée. Le théorème de Thalès offre une représentation géométrique de la réponse recherchée.

La limitation de la méthode réside dans le fait que la valeur recherchée est donnée sous forme d'une longueur, la fraction correspondant à cette longueur n'est pas explicitée. Par contre, les résultats qui ont précédé établis de manière géométrique, permettent une résolution algébrique. L'équation s'écrit toujours :

(2)\quad 5x - \frac 14x + \frac 14 = 1

Le nombre 5 est toujours égal à 5/1, le résultat établi au paragraphe précédent montre que 5/1 est aussi égal à 20/4, en multipliant en haut et en bas par 4. Comme 20/4 - 1/4 est égal à 19/4, il existe dans le terme de droite précisément 19/4 fois le terme x. De la même manière 1 est égal à 4/4. L'équation (2) s'écrit :

(3)\quad \frac {19}4 x + \frac 14 = \frac 44

En retranchant 1/4 à chaque terme de l'équation (3) , on obtient :

(4)\quad \frac {19x}4 = \frac 34

Il suffit de multiplier par 4/19 pour trouver que x est égal à 3/19. Ici, des formules algébriques ont été établi avec la géométrie algébrique, elles sont ensuite appliquées sans l'aide de la géométrie. C'est fréquemment mais aussi procède l'algèbre géométrique.

Équation du second degré

Introduction par l'exemple : le nombre d'or

Article détaillé : Nombre d'or.
La proportion définie par a et b est dite d'extrême et de moyenne raison quand a est à b ce que a + b est à a. Le rapport a / b est alors égal au nombre d'or.
Les triangles OAB et OCA sont identiques si et uniquement si les longueurs a et b sont en extrême et moyenne raison, selon l'expression d'Euclide.

Originellement, l'algèbre consiste principalement à résoudre des équations, fréquemment polynômiales, c'est-à-dire qui peuvent s'exprimer comme la recherche de racines d'un polynôme comme :

(1)\quad xˆ2 - x - 1 = 0 \;

Cette équation admet pour solutions le nombre d'or φ et l'opposé de son inverse -φ−1. Ses racines ont une interprétation géométrique, illustrée sur la figure de gauche. Soient a et b deux longueurs, telles que, selon l'expression d'Euclide : «Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison lorsque, comme elle est tout entière assez au plus grand segment, ainsi est le plus grand assez au plus petit[2]. Les valeurs a et b vérifient la relation algébrique :

\frac ab = \frac {a+b}a\quad\text{ou encore}\quad \frac ab = 1 + \frac ba\quad\text{et}\quad \left(\frac ab\right)ˆ2 = \frac ab + 1

Si la fraction a/b sert à désigner l'inconnue, on retrouve l'équation d'origine. La géométrie sert à construire une telle proportion. Si le nombre d'or est noté φ, les racines de l'équation (1) sont :

\varphi = \frac 12(1 + \sqrt 5) \quad -\varphiˆ{-1} = \frac 12(1 - \sqrt 5)

La méthode de résolution consiste seulement à appliquer judicieusement le théorème de Pythagore sur un rectangle d'or de largeur égale à 1. Ainsi, un problème purement algébrique, consistant à résoudre l'équation (1) est résolu avec la géométrie euclidienne.

Un exemple plus simple d'équation du second degré résolue par la géométrie est donné dans l'article Inconnue (mathématiques) . Il correspond à l'énoncé suivant : «Un champ rectangulaire possède une aire de 96 et un périmètre de 40. Quelles sont les longueur et largeur du champ ?[3]». Son origine est bien plus lointaine, cette question nous vient des babyloniens. La résolution, par la méthode géométrique et algébrique, est proposée dans l'article détaillé.

Identité remarquable

Article détaillé : identité remarquable.
Certaines identités remarquables se démontrent avec la géométrie plane.

La résolution d'une équation du second degré, dans le cas général, se résout avec trois identités remarquables, développant les expressions (a + b) 2, (a - b) 2 et (a + b) (a - b) [4]. Ces résultats étaient connus bien avant le formalisme moderne de l'équation et de l'inconnue, il date certainement des babyloniens[5]. Ils proviennent de considérations géométriques. Ces trois identités se démontrent avec la géométrie.

Pour établir la formule suivante, on considère la figure de droite :

(1)\quad (a + b)ˆ2 = aˆ2 + 2ab + bˆ2 \;

La longueur bleue représente a et la rouge b. L'expression (a + b) 2 est égale à l'aire du grand carré de côté a + b. Il est envisageable de le décomposer en trois partie : la zone bleu, correspondant à un carré de côté a et d'aire a2; la zone rouge, correspondant à un carré de côté b et d'aire b2 et la zone verte, correspondant à deux rectangle de longueur a et de largeur b. Chaque rectangle de la zone verte est d'aire égale à a. b, la zone verte est d'aire 2ab. On retrouve bien l'identité remarquable (1) .

On établit de même l'identité :

(2)\quad (a - b)ˆ2 = aˆ2 - 2ab + bˆ2 \;

Cette fois ci, longueur bleu sert à désigner a - b et la longueur rouge b. L'expression (a - b) correspond désormais à l'aire du carré bleu. L'aire du carré bleu peut être vue comme la différence entre le grand carré, désormais de côté a et les deux zones vertes et la zone rouge. Le rectangle composé d'une zone verte et du carré rouge a pour aire a. b. Si on retranche à l'aire du carré de côté a deux aires d'un rectangle de longueur a et de largeur b, on trouve l'aire du carré bleu enlevée de celle du carré rouge, ce qui donne l'identité suivante, dont on déduit (2)  :

aˆ2 - 2ab = (a - b)ˆ2 - bˆ2 \;

L'identité (3) se démontre avec la même figure :

(3)\quad aˆ2 - bˆ2 = (a + b)(a-b)\;

On utilise les mêmes conventions que celles établissant l'identité (2) . L'aire de la surface a2 - b2 correspond à l'aire du grand carré enlevée de l'aire du carré rouge, c'est-à-dire à l'aire du carré bleu additionnée à l'aire des deux rectangles verts. Le rectangle composée de la zone bleue et d'une zone verte correspond à un rectangle d'aire a (a - b). Si on déplace un des deux rectangles verts pour le positionner de long du deuxième rectangle vert de façon à former un nouveau rectangle, on trouve un rectangle de longueur (a + b) (a - b). Ce rectangle est d'aire égale à celle du grand carré enlevée de l'aire du carré rouge, ce qui démontre l'identité (3) .

Ainsi, l'ensemble des identités remarquables utilisées pour résoudre des équations du second degré s'interprètent et se démontrent de manière géométrique. En conséquence, l'ensemble des équations du second degré peuvent se résoudre de manière géométrique.

Résolution d'une équation du second degré

On recherche à résoudre l'équation suivante :

ax - xˆ2 = c\quad\text{avec}\quad aˆ2 \ge 4c

La méthode s'inspire directement de calcul analogue à ceux qui permettent d'établir les identités remarquables. Elle est illustrée sur la figure ci-dessous.

Equation quadratique (3).jpg

Tout d'abord, on construit un carré de côté a/2. par hypothèse, ce carré est d'aire plus grande que c. On retranche au carré, en bas à gauche un petit carré de telle manière que la surface rouge et violette soit d'aire précisément égale à c.

Dans un deuxième temps, on déplace la zone violette pour obtenir la figure de droite et on ajoute à gauche de cette figure un carré de côté x, la valeur de x est définie par la figure de gauche. L'aire rouge et violette est , selon la construction de la figure de gauche, égale à c. Selon la figure de droite, elle est égale à la différence du rectangle de longueur a et de largeur x avec l'aire x2 du carré de côté x. Ce qui donne la solution de l'équation. Ce mode de résolution provient directement des éléments d'Euclide[6]. Chez Euclide, le problème à résoudre n'est pas la résolution d'une équation, mais la recherche d'une longueur tel que l'aire du rectangle de côtés cette longueur et une longueur a, enlevée d'un carré de côtés de longueur x, soit égale à une aire c donnée.

Équation du troisième degré

Article détaillé : équation cubique.
al-Khayyām étudie l'équation cubique sous l'angle de l'intersection d'un cercle et d'une parabole.

L'équation cubique, c'est-à-dire celle définie par un polynôme du troisième degré, demande énormément d'efforts avant de trouver une méthode de résolution. Le mathématicien perse al-Khayyām s'y attelle, trouve plusieurs résultats comme l'existence envisageable d'au moins deux racines, mais échoue sur une formulation algébrique des racines l'équation. Il indique : «Peut être qu'un de ceux qui viendront après nous la réalisera.»[7]

Il étudie cette équation sous l'angle de l'intersection d'un cercle et d'une parabole. Pour comprendre sa méthode, illustrons là avec l'équation x3 + x = 1. En multipliant par x de chaque côté, on obtient x4 + x2 = x. Al-Khayyām pose le changement de variable y = x2, ce qui est l'équation de la parabole illustrée en rouge sur la figure de droite. L'équation devient : y2 + x2 = x ou encore y2 +  (x - 1/2) 2 = 1/4, ce qui est l'équation d'un cercle de centre le point de coordonnées (1/2,  0) et de rayon 1/2, illustré en vert sur la figure.

Le cercle vert et la parabole rouge ont deux points d'intersection, celui de coordonnées (0,  0), ajouté lorsque l'équation d'origine a été multipliée par x et un autre dont l'abscisse a pour valeur, la racine de l'équation étudiée.

Cette méthode sert à montrer l'existence de plusieurs racines, de localiser les racines en fonctions des cœfficients et de donner une approximation de la racine, si la représentation est suffisamment précise.

Identité arithmétique

La frontière entre l'arithmétique et l'algèbre n'est pas forcément nette. Un critère permet néanmoins de différencier grossièrement les deux branches. Une équation polynomiale est qualifié d'algébrique, sauf si les cœfficients sont entiers et que les solutions recherchées sont entières ou rationnelles. On parle alors d'équation diophantienne, un chapitre de l'arithmétique. Les méthodes utilisées pour résoudre une équation algébrique ou diophantienne ne sont pas forcément les mêmes. Pour cette raison, il est important de savoir si la valeur recherchée est algébrique ou entière. Un nombre est dit algébrique s'il est solution d'une équation polynomiale à cœfficients entiers. L'algèbre géométrique sert à montrer l'irrationalité de certaines grandeurs.

Si les figures utilisées dans le raisonnement possèdent des côtés de longueurs entières ou rationnelles, les résultats trouvés sont quelquefois des nombres entiers ou rationnels. Cependant, certains résultats s'exprimant sous cette forme, sont suffisamment utiles en algèbre pour être reconnus comme de l'algèbre et non pas de l'arithmétique, à l'image du calcul des cœfficients du binôme. Ceux présentés ici entre dans cette catégorie.

Irrationalité d'une racine carrée

Article détaillé : Nombre irrationnel.
Si le nombre d'or était un nombre rationnel, il existerait deux entiers a et b tel que a/b serait égal au nombre d'or. Le rectangle de longueur a et de largeur b serait un rectangle d'or.

Les nombres sont originellement fabriqués à l'aides des entiers puis des fractions. Les grandeurs géométriques mettre rapidement à jour une fonction qui génère des grandeurs non rationnels à partir de rationnels : la racine carrée. On l'a trouve en géométrie, surtout dans la diagonale d'un carré et d'une façon plus générale dans certaines diagonales de polygones réguliers.

La démonstration la plus classique de l'irrationalité de la racine carrée de deux se fonde sur l'arithmétique[8]. Euclide en propose une géométrique[9].

Une manière simple de se convaincre que le nombre d'or est irrationnel est de construire un rectangle d'or, c'est-à-dire un rectangle dont la longueur et la largeur sont en proportion d'extrême et de moyenne raison. Le raisonnement est par l'absurde, si le nombre d'or est rationnel, il existe deux entiers a et b tel que a/b soit égal au nombre d'or, on considère le plus petit entier a tel que a/b soit égal au nombre d'or. Le rectangle de droite est le plus petit rectangle d'or dont les côtés sont de longueurs entières. Le rectangle de côtés b et a - b est aussi un rectangle d'or (cf l'article nombre d'or). En conséquence il existe un rectangle plus petit que le premier, dont les côtés sont entiers et dont le rapport longueur sur largeur est égal au nombre d'or. Cette contradiction montre le caractère irrationnel du nombre d'or.

Nombre triangulaire

Article détaillé : nombre triangulaire.
Le quatrième nombre rectangulaire est égal à 10.

Le nième nombre triangulaire est égal à la somme de l'ensemble des entiers compris entre 1 et n. Une vielle technique pour le calculer consiste à étudier un carré de côté n + 1. Elle est illustrée sur la figure de droite, avec n égal à 4 et une pastille au sein de chaque carré. La surface constituée des carrés contenant une pastille de couleur or, forme le nième nombre triangulaire, noté ici tn. Le grand carré, de côté n + 1 est de surface (n + 1) 2. Le carré peut aussi être vue comme composé de trois aires, une diagonale, de surface n + 1 et deux zones de surface tn, l'une composée des rectangles contenant une pastille d'or et l'autre, symétrique de la première comparé à la diagonale de bas à gauche en haut à droite. On en déduit la formule :

2t_n + n + 1 = (n+1)ˆ2\;

En retranchant n + 1 dans les deux membres de l'égalité, puis en divisant par deux, on obtient la valeur de tn :

t_n  = \frac {n(n+1)}2\;

Carré d'un nombre triangulaire

Le carré du nième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers cubes.

Une méthode plus particulièrement élaborée permet le calcul de la somme des n premiers cubes. Pour cela, on construit un carré de côté le nième nombre triangulaire, c'est-à-dire un carré de côté 1+2+... +n, comme illustré sur la figure de droite. Calculons l'aire de la dernière tranche, nommé gnomon et de couleur orange sur la figure, elle se divise en deux rectangles de côtés le longueur n et 1+2+... +n, mais on a compté deux fois un rectangle de côté n. Cette surface est égale à :

2n(1 + 2 + \cdots n) - nˆ2 = 2n\frac {n(n+1)}2 -nˆ2 = nˆ3

Le carré de côté 1+2+... +n est ainsi composé de n gnomons, de surface 1, 23, ..., n3. Comme le côté du carré est de longueur le nième nombre triangulaire, on obtient :

1ˆ3 + 2ˆ3 + \cdots + nˆ3 = \left(\frac {n(n+1)}2\right)ˆ2

L'algèbre géométrique sert à calculer avec élégance la somme des n premiers cubes.

Somme des puissances de deux

Un carré est une représentation graphique du calcul de la somme des puissance de 2

La somme des puissance de 2 correspond à la somme 1 + 2 + 4 +... + 2n. Elle est égale à 2n+1 - 1 :

\sum_{j=0}ˆn 2ˆj = 2ˆ{n+1} - 1

L'algèbre géométrique vient à bout de la démonstration. Pour cela on considère un carré, illustré à droite et d'aire égale à 2n+1. Ce carré est la réunion de deux rectangles, l'un en bleu et l'autre multicolore et de même aire. Chaque rectangle est de surface 2n, ce qui donne l'égalité :

(1)\quad 2ˆ{n+1} = 2ˆn + {\color{blue}2ˆn}

Le terme 2n, noté en bleu dans l'égalité (1) , correspond à l'aire d'un rectangle multicolore, réunion de 2 carrés de même aire, l'un rouge et l'autre multicolore. Comme ces deux carrés ont même aire, cette aire est égale à 2n-1. De l'égalité (1) , on déduit :

2ˆ{n+1} = 2ˆn + 2ˆ{n-1} + {\color{red}2ˆ{n-1}} \quad\text{puis}\quad 2ˆ{n+1} = 2ˆn + 2ˆ{n-1} + 2ˆ{n-2} + {\color{Fuchsia}2ˆ{n-2}}

En continuant ainsi pendant n étapes, on obtient :

(2)\quad 2ˆ{n+1} = 2ˆn + 2ˆ{n-1} + 2ˆ{n-2} + \cdots + 2ˆ1 + 2ˆ1

Il suffit de soustraire 1 à chaque membre de l'égalité (2) pour conclure.

Histoire

Mésopotamie

Grèce antique

Article détaillé : Mathématiques de la Grèce antique.

Le statut des mathématiques grecques est légèrement spécifique. Leurs mathématiciens ne connaissent ni le concept de l'inconnue, ni celui de l'équation[10]. Pour cette raison, on n'utilise plus le terme d'algèbre pour décrire leurs mathématiques. J. Peiffer précise : «Le terme d'algèbre pour une époque où la recherche de l'inconnue n'est pas encore explicite, et toujours moins l'étude des "équations", doit être utilisé avec prudence[11].

Cependant, les démonstrations géométriques des paragraphes sur les équations du premier et du deuxième degré est totalement décrit dans les Éléments d'Euclide. Le livre V traite des proportions. On y trouve l'ensemble des règles régissant le maniement des fractions[12]. Les identités remarquables, mais aussi la méthodes résolution de l'équation donnée en exemple sont démontrées dans le livre II[13]. Plus important toujours, l'approche géométrique des Éléments d'Euclide offre l'unique méthode pour établir des démonstrations algébriques génériques. Pendant plus d'un millénaire, aucune notation littérale autre que pour l'inconnue n'existe en algèbre. Ainsi, exprimer l'identité remarquable de la manière générique suivante : (a2 - b2)  =  (a - b) (a + b), est impossible durant une longue période, rendant pas là même impossible une démonstration algébrique, comme on l'a connaît désormais. Par contre, les grecs et leurs successeurs n'ont aucune difficulté à raisonner sur un triangle ou un rectangle quelconque. J. Peiffer indique : «En revanche, les méthodes de constructions géométriques des ouvrages II et VI auront une influence durable, y compris chez les fondateurs et législateurs arabes de la théorie des équations quadratiques, puis cubiques. [11]». Ce sont ces raisons qui ont poussé l'historien des sciences du XIXe siècle P. Tannery à user du terme algèbre géométrique pour certains livres des Éléments.

Si on replace les travaux d'Euclide dans leur contexte, on comprend mieux pourquoi le terme d'algèbre est inapproprié. Le paragraphe sur l'équation du premier degré montre, tout d'abord, des égalités entre fractions. Le livre V des Éléments montre ces égalités, mais leur interprétation ne correspond pas à la notre. Pour Platon, Aristote ou Euclide, un rapport entre deux longueurs quelconques n'est pas un nombre[14], on parle de proportion, l'égalité a/b = c/d veut dire qu'un rectangle de côtés de longueur a et b est comparable à un autre rectangle de côtés de longueur c et d. Ces égalités sont toutes géométriques, dans la tradition euclidienne, et ne correspondent pas à des produits de nombres, comme on les lit désormais. Par la suite, la notion d'inconnue, c'est-à-dire un objet mathématique susceptible de subir des opérations comme des mises au carré ou des multiplications par une proportion, n'existe pas non plus. Dans la méthode proposée pour la résolution d'une équation du second degré, le problème grec prend la forme suivante : trouver une longueur x tel que le rectangle de longueur a - x et de largeur x ait une aire égale à une surface c. À aucun moment, dans la solution proposée la moindre opération algébrique n'est réalisée sur x.

Les Indes

Article détaillé : Mathématiques indiennes.

Les mathématiciens indiens s'intéressent tôt à des questions dont les réponses permettent un progrès dans ce type de mathématique que P. Tannery qualifie d'algèbre géométrique. Dans un premier temps leur conception du nombre est bien plus avancé. Le signe moins est plus particulièrement élaboré, chez Bhāskara II l'expression x2 - 2. x veut dire la somme de x2 et du terme -2. x. Ainsi l'existence d'un nombre négatif n'est pas une difficulté, et Bhāskara annonce qu'un nombre possède deux racines, l'une positive et l'autre négative[15]. Les grecs ne connaissent le signe moins que comme soustraction entre un nombre et un autre plus petit, tout deux positifs. Une telle conception du signe moins permet une plus grande souplesse, un calcul faisant intervenir une valeur négative n'est pas un obstacle pour les indiens. Cette souplesse offre de nouvelles possibilités algorithmique, comme le montre la méthode chakravala, qui sert à trouver la solution d'une équation diophantienne beaucoup hors de portée des grecs.

Les indiens disposent d'une écriture décimale positionnelle particulièrement avancé dès le VIe siècle, chez le mathématicien Aryabhata[16]. Ce dispositif de numération, mais aussi l'usage de fraction continue[17] offrent une familiarité des indiens avec le calcul des racines carrées et des fractions indispensable à l'étude des équations du deuxième degré. Cette familiarité est ancienne, certaines racines carrées sont extraites avec une précision d'onze décimales[18] dans un texte mathématique nommé Bakhshali et antérieur à Aryabhata de plusieurs siècles.

Si les indiens maitrisent mieux les irrationnels, ils ne leurs confèrent néanmoins pas le statut de nombre. Ils peuvent s'additionner ou se multiplier, mais ils restent des grandeurs géométriques. Le terme de carré ou de cube, par exemple reste associé en premier lieu à une grandeur géométrique : «Un carré, est un équi-quadrilatère son «fruit» (sa surface) est le produit de deux nombres égaux[19]. Les calculs algébriques des indiens sont obligatoirement emprunts de géométrie : «La distance entre le gnomon et la base, ayant la hauteur du gnomon pour multiplicateur, est divisée par la différence des hauteurs du gnomon et de la base. Ce qui est obtenu doit être connu comme étant l'ombre du gnomon mesurée en effet, à partir de son origine[20] On retrouve l'interprétation géométrique de la proportion, ou encore l'équivalent d'une identité remarquable établie avec un gnomon pour résoudre l'équivalent d'une équation du second degré[21].

Une fois toujours, à l'époque d'Aryabhata les notions d'équation et d'inconnue, au sens décrit dans l'article Inconnue (mathématiques) , ne sont pas présentes. On trouve bien des problèmes du premier degré comme «Par la différence entre des objets divisez la différence des roupies que possèdent deux personnes : le quotient est la valeur d'un objet si les fortunes sont identiques[19]». Remis dans son contexte, ce vers s'interprète de la manière suivante : «deux personnes ont la même richesse. Le premier possède a perles et c pièces d'argent, le second b perles et d pièces. On cherche le prix d'une perle. Nous pouvons en nommant x le prix d'une perle, résumer le problème par l'expression suivante [22] :»

ax + c = bx + d \;

Aryabhata trouve bien la solution (d - c) / (a - b), Brahmagupta utilise même comme équivalent de notre inconnue x le symbole ya, qui résume l'expression yavat-tavat signifiant autant que[23]. Cependant aucun calcul algébrique n'est réalisé sur l'inconnue. Cette lacune finit par être comblée. Au XIIIe siècle, Bhaskara II commente l'Aryabhatiya, le livre d'Aryabhata. Ces commentaires contiennent la résolution de l'équation du second degré dans l'ensemble des cas, avec opérations algébriques sur des expressions contenant une inconnue[24].

Algèbre arabe

Article détaillé : Mathématiques arabes.

La civilisation arabe du VIIIe siècle au XVe siècle correspond à l'age d'or des méthodes de l'algèbre géométrique. Cette période débute sous le règne du Calife Al-Mansur, qui règne sur un immense territoire, s'étendant de l'Espagne aux Indes. Il est le premier à faciliter le développement des sciences. Il demande au mathématicien Al-Farazi de traduire les œuvres de Brahmagupta vers 771[25] et fait aussi traduire les Éléments d'Euclide[26]. Al-Khwarizmi un mathématicien de cette époque, réalise un pont entre les deux cultures. Dans son Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison il traite de manière presque exhaustive l'équation du second degré[27]. On peut parler d'algèbre au sens où le problème résolu dans le livre est celui de l'équation du second degré dans sa généralité, et ceci aussi avec concepts algébriques. Sa méthode de résolution consiste, tout d'abord, à se ramener à 6 types d'équations avec transformations algébriques, puis la géométrie d'Euclide lui sert à résoudre chacun des 6 types. L'objectif d'Al-Khawarizmi est plus proche des préoccupations indiennes que grecs, il consiste en la résolution d'une équation et non celle d'un problème géométrique. Si son objectif ne s'inscrit pas dans la tradition grecque, l'un des éléments clé pour y parvenir est la géométrie euclidienne[27].

S'il reste quelques réticences grecques, comme l'usage de valeurs irrationnelles pour les cœfficients de l'équation, elles sont rapidement levées par ses successeurs. Abu Kamil, un disciple d'Al-Khawarizmi, établit des identités remarquables, avec la géométrie, dont les termes peuvent être des nombres irrationnels comme[28] :

\sqrt a \pm \sqrt b = \sqrt {a + b \pm 2\sqrt{ab}}

Il n'hésite pas non plus à résoudre des équations du second degré dont les cœfficients sont irrationnels[29]. Progressivement, le statut d'une grandeur irrationnelle se rapproche de celui d'un nombre. Dès le Xe siècle le même mot adad sert à désigner les rationnels al-adad al muntiqa et les irrationnels al-'adad al-summa. Al-Karagi, un mathématicien du même siècle et Al-Samaw'al étendent les opérations algébriques aux irrationnels, y compris les extractions de racines[30]. Cette branche des mathématiques, entre algèbre et arithmétique, utilise l'aussi géométrie, la démonstration de la somme des n premiers cubes est l'œuvre d'Al-Karagi[31].

La branche algébrique la plus proche de la géométrie est nommée géométrico-algébrique[32]. Le plus grand enjeu est certainement l'équation du troisième degré. Les origines de cette questions sont nombreuses, certaines sont purement géométriques, comme la trisection de l'angle, la duplication du cube ou la construction de polygones réguliers, surtout à 7 et 9 côtés. Une autre origine est l'astronomie, la détermination de la position des étoiles demande le calcul de sin 3θ, qui s'obtient en résolvant l'équation suivante, du troisième degré si on connait sin 3θ et qu'on cherche à calculer sin θ :

sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sinˆ3 \theta\;

Les progrès sur le cas du deuxième degré poussent les mathématiciens arabes à utiliser le formalisme de l'algèbre, c'est-à-dire la résolution d'équation polynomiale à cette époque[33]. Omar Khayyam utilise des outils géométriques particulièrement différent du gnomon de l'équation du second degré. Il considère des polynômes du second degré, cette fois ci avec deux variables. La totalité des racines forment une conique, idée qu'il prend du livre d'Apollonius intitulé Éléments des coniques[34]. La racine de l'équation du troisième degré peut être vue comme l'abscisse de l'intersection de deux coniques, comme le montre l'exemple donnée dans l'article[35].

Europe

Durant la Renaissance et en Italie, l'Europe est suffisamment mature pour présenter des résultats importants et nouveaux. Une violente controverse entre les mathématiciens italiens les stimulent et se termine par la découverte d'une méthode algébrique de résolution de l'équation cubique. La méthode est finalement publiée par Gerolamo Cardano[36]. Elle repose principalement sur un usage habile de l'identité suivante, démontrée géométriquement avec la représentation du cube contenu dans l'article :

(\sqrt[3] a - \sqrt[3] b)ˆ3 = a - b - 3(\sqrt[3] a - \sqrt[3] b)\sqrt[3] a \cdot \sqrt[3] b

Les progrès suivants modifient la nature des rapports entre algèbre et géométrie. François Viète, un mathématicien français de la fin du XVIe siècle, met en place un langage symbolique algébrique contenant des paramètres, c'est-à-dire des lettres qui symbolisent des grandeurs dont la valeur n'est pas donnée. Il devient envisageable de démontrer des identités remarquables ou des substitutions algébriques sans recours à la géométrie. L'une des raisons de l'usage de la géométrie en algèbre disparaît. La querelle pour déterminer la nature numérique ou non d'une grandeur algébrique n'est pas close. Michæl Stifel, un contemporain de Viète, refuse toujours de considérer un irrationnel comme un nombre. Viète, dans ses écrits fait toujours toujours référence à la géométrie comme justification du raisonnement algébrique. Cependant, dans nombre de raisonnements, la géométrie devient une justification et non plus le moteur de la démonstration. Viète n'hésite d'ailleurs pas à étudier des questions de degré quatre ou plus, ce qui pour Stifel est contre nature[37].

Descartes, avec Fermat, prolonge et simplifie le langage symbolique de Viète. Son rôle ne s'arrête pas là. Comme le faisait déjà Omar Khayyam, il équipe le plan de ce qu'on nomme désormais un repère cartésien, mais l'objectif de Descartes est bien différent. Les connaissances en algèbre, mais aussi les progrès dans le langage symbolique, permettent un renversement des rôles. Démontrer une identité remarquable devient plus simple avec l'algèbre que de la géométrie, l'algèbre devient un outil de résolution géométrique et non plus l'inverse. Cette démarche, mais aussi de nombreux progrès en algèbre, finissent par créer une nouvelle branche des mathématiques, nommée géométrie algébrique[38].

Voir aussi

Références

  1. P. Tannery Notions de mathématiques Delagrave Paris (1903) Chap II § 189
  2. Euclide Eléments d'Euclide livre VI, 3ème définition.
  3. O. Neugebauer The Exact Sciences in Antiquity Dover Publications 2ième édition (1969) (ISBN 0486223329) p36
  4. Voir l'article équation du second degré
  5. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 74
  6. Voir les explications dans : Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 60
  7. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 94
  8. La démonstration, donnée dans l'article racine carrée de deux, date certainement du Vè siècle avant Jésus-Christ, voir J. -L. Périllié La découverte des incommensurables et le vertige de l'infini Transcription d'une conférence qui a eu lieu le 16 mai 2001 à Grenoble p 18.
  9. Euclide Éléments d'Euclide Livre X, prop. 117
  10. Voir à ce sujet la partie historique de l'article Inconnue (mathématiques)
  11. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 77
  12. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 61
  13. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 63
  14. J. -L. Périllié La découverte des incommensurables et le vertige de l'infini Transcription d'une conférence qui a eu lieu le 16 mai 2001 à Grenoble p 14
  15. L. Rodet L'algèbre d'Al-Khârizmi et les méthodes indienne et grecque lire sur Gallica p 24
  16. G. Ifrah The Universal History of Numbers : From Prehistory to the Invention of the Computer Wiley 1999 (ISBN 0471375683) Chap 24
  17. C. Brezinski Ces étranges fractions qui n'en finissent pas Université des Sciences et Technologies de Lille
  18. M N Channabasappa On the square root formula in the Bakhshali manuscript Indian J. History Sci. 11 (2) (1976) pp 112-124
  19. L. Rodet Leçon de calcul de l'Aryabhata Extrait du journal asiatique (1879)
  20. Ce texte est extrait d'une traduction d'un texte d'Aryabatha : A. Keller Un commentaire indien du VIIe siècle Thèse de troisième cycle sous la direction de K. Chemla
  21. On trouve les éléments sur la proportion dans les vers 26 et 27, le gnomon dans les vers 14 à 16 et l'équivalent d'une équation du second degré vers 23 et 24, d l'Aryabhatiya
  22. A. Keller Un commentaire indien du VIIe siècle Thèse de troisième cycle sous la direction de K. Chemla p 171
  23. Histoire des symboles IREM de Poitier (2003) p 28
  24. Voir à ce sujet, par exemple : L. Rodet L'algèbre d'Al-Khârizmi et les méthodes indienne et grecque lire sur Gallica p 24
  25. D. Singmaster [www. g4g4. com/pMyCD5/CHRONOS/MEDIEVAL. DOC Medieval chronology from the greeks to the renaissance] London South Bank University (2008)
  26. B. Russel A History of Western Philosophy Touchstone (ISBN 0671201581) p 212
  27. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 85
  28. R. Rashed Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l'histoire des mathématiques arabes Paris, Les Belles lettres (1984)
  29. L'article Inconnue (mathématiques) contient un exemple de cette nature.
  30. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 101
  31. A. Joyal Les mathématiques dans le prisme de l'histoire Université du Québec à Montréal Dept de Mathématiques
  32. L. Charbonneau Monde arabe Université du Québec à Montréal Dept de Mathématiques
  33. Cette définition est provient du livre d'Omar Khayyam intitulé Démonstrations de problèmes d'algèbre
  34. Apollonius les Coniques d'Apollonius de Perge : œuvres traduites pour la première fois du grec en français avec une introduction et des notes traduit par P. Eecke Albert Blanchard, 1963
  35. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 95
  36. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , pp 105-108
  37. Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions]
  38. Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions] pp 269-279

Liens externes

Bibliographie

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