Algèbre

L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (?????), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.

L'étude des structures algébriques peut être faite de manière unifiée dans la cadre de l'algèbre universelle.

L'étude épistémologique de l'algèbre a été introduite par Jules Vuillemin.

Pour la «structure d'algèbre», voir l'article : Algèbre sur un corps.

Histoire

Antiquité

Les anciens Babyloniens et Égyptiens savaient déjà résoudre des problèmes qui peuvent être traduits en équations du premier ou second degré.

A titre d'exemple, le Papyrus Rhind (conservé au British Museum de Londres, il date de -1650, ère chrétienne) comporte l'énoncé suivant :

On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun ?

Cependant, ils ne faisaient pas de l'algèbre, car ils n'effectuaient pas de calcul sur une inconnue (mathématiques) .

Diophante, au III^e siècle de l'ère chrétienne, fut le premier à pratiquer l'algèbre en introduisant le concept d'inconnue comme nombre, ^[1] ainsi qu'à ce titre peut être reconnu comme "le père" de l'algèbre.

Monde arabo-musulman

Le mot «algèbre» vient de l'arabe al-jabr (?????), qui est devenu algebra en latin et qui veut dire «la réunion» (des morceaux), «la reconstruction» ou «la connexion» (en espagnol le mot algebrista sert à désigner celui qui pratique le calcul algébrique mais également le rebouteux, celui qui sait diminuer les fractures osseuses^[2]).

C'est un des premiers mots du titre en arabe d'un ouvrage du mathématicien d'origine persane Al-Khawarizmi qui reprend, dans la première partie du IX^e siècle, les travaux de Diophante d'Alexandrie (III^e siècle). Ce dernier avait imaginé de représenter une inconnue par un symbole appelé arithme. Le titre de cet ouvrage (Al-jabr wa'l-muqabalah) qui s'inscrivait dans l'époque d'essor des sciences et techniques islamiques (la culture de l'époque voulait que tout savoir soit traduit en arabe et disséminé dans tout l'Empire), a donné le mot moderne «algèbre». Une large proportion des méthodes utilisées sont issues de résultats élémentaires de géométrie. Pour cette raison, on classe fréquemment ces premiers résultats dans la branche de l'algèbre géométrique.

Après un voyage dans le nord de l'Afrique, Léonard de Pise dit Fibonacci fut séduit par cette nouvelle façon d'écrire les chiffres (différente des chiffres romains) et par le dispositif décimal. Dès son retour au pays, il est parmi les premiers à populariser les chiffres arabes et le système décimal en Europe et travaille sur sa fameuse suite.

XVI^e siècle : Europe

Le pape Gerbert d'Aurillac avait ramené d'Espagne vers l'an 1000 le zéro, invention indienne que les mathématiciens Al-Khawarizmi et Abu Kamil avaient eux-mêmes fait connaître dans tout l'Empire, et aussi à Cordoue.

Cette numération de position lance une ère de calcul algébrique, en premier lieu au moyen des algorithmes appelés ainsi en hommage à Al-Kawarizmi, qui remplacent progressivement l'usage de l'abaque. Les mathématiciens italiens du XVI^e siècle (del Ferro, Tartaglia et Cardan) résolvent l'équation du 3^e degré (ou équation cubique). Ferrari, élève de Cardan, résout l'équation du 4^e degré (ou équation quartique), et la méthode est peaufinée par Bombelli. À la fin du siècle, le Français Viète découvre que les fonctions symétriques des racines sont liées aux cœfficients de l'équation polynomiale.

Jusqu'au XVII^e siècle, l'algèbre peut être globalement caractérisée comme la suite ou le début des équations et comme une extension de l'arithmétique ; elle consiste essentiellement en l'étude de la résolution des équations algébriques, et la codification progressive des opérations symboliques donnant la possibilité cette résolution. C'est à François Viète (1540-1603) qu'on doit l'idée de noter les inconnues avec lettres.

Au XVII^e siècle, les mathématiciens utilisent progressivement des nombres «imaginaires», tels que l'une des racines carrées de -1, pour parvenir à calculer les racines non réelles de leurs équations. Cette «extension» des nombres réels (qui prendra le nom de nombres complexes) amène d'Alembert (en 1746) et Gauss (en 1799) à énoncer et démontrer le théorème essentiel de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss)  :

Sous sa forme moderne, le théorème s'énonce :

Le XIX^e siècle s'intéresse désormais à la calculabilité des racines, et surtout à la possibilité de les exprimer par des formules générales à base de radicaux. Les échecs concernant les équations de degré 5 amènent le mathématicien Abel (après Vandermonde, Lagrange et Gauss) à approfondir les transformations sur la totalité des racines d'une équation. Évariste Galois (1811 - 1832), dans un mémoire fulgurant, introduit pour la première fois la notion de groupe (en étudiant le groupe des permutations des racines d'une équation polynomiale) et aboutit à l'impossibilité de la résolution par radicaux pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.

Une étape décisive était franchie avec l'écriture des exposants fractionnaires. Celle-ci permettra à Euler d'énoncer sa célèbre formule e^iπ = − 1.

Algèbre moderne

Dès lors, l'algèbre moderne entame un parcours fécond : Boole crée l'algèbre qui porte son nom, Hamilton invente les quaternions, et les mathématiciens anglais Cayley, Hamilton et Sylvester étudient les structures de matrices. L'algèbre linéaire, longtemps restreinte à la résolution de dispositifs d'équations linéaires à 2 ou 3 inconnues, prend son essor avec le théorème de Cayley-Hamilton («Toute matrice carrée à cœfficients dans ou annule son polynôme caractéristique»). S'ensuivent les transformations par changement de base, la diagonalisation et la trigonalisation des matrices, et les méthodes de calcul qui nourriront, au XX^e siècle, la programmation des ordinateurs. Parallèlement, Kummer généralise les structures galoisiennes et étudie les structures de corps et d'anneau. Dedekind définit les idéaux (déjà entrevus par Gauss) qui permettront de généraliser et reformuler les grands théorèmes d'arithmétique. L'algèbre linéaire se généralise en algèbre multilinéaire et algèbre tensorielle.

Au début du XX^e siècle, sous l'impulsion de l'allemand Hilbert et du français Poincaré, les mathématiciens s'interrogent sur les fondements des mathématiques : logique et axiomatisation occupent le devant de la scène. Peano axiomatise l'arithmétique, puis les espaces vectoriels. La structure d'espace vectoriel et la structure d'algèbre sont approfondies par Artin en 1925, avec des corps de base autres que ou et des opérateurs encore plus abstraits. On doit aussi à Artin, reconnu comme le père de l'algèbre contemporaine, des résultats fondamentaux sur les corps de nombres algébriques. Les corps non commutatifs amènent à définir la structure de module sur un anneau et la généralisation des résultats classiques sur les espaces vectoriels.

L'école française «Nicolas Bourbaki», emmenée par Weil, Cartan et Dieudonné, entreprend de réécrire la totalité des connaissances mathématiques sur une base axiomatique : ce travail gigantesque débute par la théorie des ensembles et l'algèbre dans le milieu du siècle, et confirme l'algèbre comme langage universel des mathématiques. Paradoxalement, tandis que le nombre de publications suit une croissance exponentielle à travers le monde, tandis qu'aucun mathématicien ne peut prétendre dominer qu'une toute petite partie des connaissances, les mathématiques n'ont jamais tout autant paru unifiées qu'aujourd'hui.

Notations européennes modernes

• Les symboles + et - apparaissent en 1489 dans l'ouvrage Arithmétique de John Widmann (Leipzig)
• Le signe = apparaît en 1557 chez Robert Recorde "parce que deux choses ne sauraient être plus identiques que deux lignes parallèles".
• Les signes < et > apparaissent en 1610 chez Thomas Harriot (1560-1621).
• William Oughtred (1574-1660) introduit le signe de la multiplication × dans son Clavis Mathematica (1631). Il introduit aussi les termes de sinus, cosinus et tangente.
• Le signe de la division / est utilisé par Johann Heinrich Rahn en 1659 et introduit en Angleterre par John Pell en 1668.

Voir aussi

Notes et références

Bibliographie

• Adolf P. Youschkevitch, Les Mathématiques Arabes, VIIIe-XVe siècles, Ed. VRIN, Paris - 1976

Liens externes

• Sur Al-Khwarizmi, mathématicien (en anglais)
• Les mathématiques. net : références et cours en ligne

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